Para calcular a área de um losango no plano utilizando integrais duplas, você pode seguir o seguinte procedimento:
Determine as Equações das Fronteiras
Para parametrizar a região, você pode dividir o losango em duas regiões: uma acima do eixo e outra abaixo. No entanto, aqui usaremos uma abordagem mais direta.
Os limites das integrais podem ser encontrados considerando as equações das linhas que formam as bordas do losango.
O losango pode ser descrito pelas seguintes inequações:
- Acima do eixo:
- Abaixo do eixo x :
Configure a Integral Dupla
Podemos configurar a integral dupla da seguinte maneira:
Para o intervalo de x entre -1 e 1, a variável y varia entre -1 + |x| e 1 - |x|. Como o losango é simétrico em relação ao eixo y, você pode calcular a área de uma metade e multiplicar por 2 para obter a área total.
A integral para a área A do losango será:
Calcule a Integral
Vamos calcular a integral dupla passo a passo:
1. Integral Interna:
2. Integral Externa:
Calcule a integral de x :
Portanto:
Resultado
A área total do losango é 1
