Calcule o volume de uma esfera com raio 12 cm utilizando cál

Para calcular o volume de uma esfera com raio $r$ usando cálculo integral, podemos usar a seguinte fórmula do volume:

onde $A(y)$ é a área da seção transversal da esfera em um plano perpendicular ao eixo $y$. A seção transversal de uma esfera é um círculo, cuja área $A(y)$ é dada por:

Portanto, para a esfera de raio $12\text{cm}$:

• O raio $r=12\text{cm}$.

Assim, a função para a área da seção transversal torna-se:

Agora, podemos definir a integral para calcular o volume da esfera:

Podemos fatorar $\pi$ para fora da integral:

Agora, vamos calcular a integral:

Agora, avaliamos a integral definida de $-12$ a $12$:

[ V = \pi \left[ \left(144y - \frac{y^3}{3}\right) \Big|_{-12}^{12} \right] ]

Calculando os limites:

1. Para $y=12$:

1. Para $y=-12$:

Agora, substituímos na expressão do volume:

Portanto, o volume da esfera é:

Se substituirmos $\pi \approx 3.14$, então:

Assim, o volume da esfera com raio de $12\text{cm}$ é $2304\pi {\text{cm}}^3$ ou aproximadamente $7238.56{\text{cm}}^3$.