Calcule o volume de uma esfera com raio 12 cm utilizando cál

Para calcular o volume de uma esfera usando cálculo integral, podemos utilizar a seguinte abordagem.

Fórmula do volume de uma esfera: O volume $V$ de uma esfera é dado pela fórmula:

onde $r$ é o raio da esfera.

Entretanto, vamos calcular o volume utilizando integrais. Um modo comum é usar a integração em coordenadas cartesianas ou, mais convenientemente, em coordenadas cilíndricas ou esféricas.

Considerando a esfera centrada na origem com raio $r=12$ cm, temos a seguinte equação da esfera:

Cálculo do Volume usando Integrais:

Podemos calcular o volume da esfera integrando o volume de cilindros infinitesimais através da altura $z$. O limite para $z$ variará de $-\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ até $\sqrt{r^2-x^2-y^2}$.

O volume infinitesimal $dV$ em coordenadas cartesianas é dado por:

onde $dA$ é a área da seção transversal na direção $z$. Pode-se integrar sobre $z$ primeiro, e trabalhar em coordenadas polares $x$ e $y$ para a área.

1. Definir o volume total:

onde $A(z)$ é a área da seção transversal da esfera em uma altura $z$.

1. Área da seção transversal: A seção transversal da esfera a uma altura $z$ é um círculo de raio $\sqrt{r^2-z^2}$, então:

1. Integrando para encontrar o volume:

1. Resolvendo a integral:

Usamos a propriedade da simetria da função (a função é par):

Calculando essa integral: [ V = 2\pi \left[ r^2z - \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{r} ] [ = 2\pi \left[ r^3 - \frac{r^3}{3} \right] ] [ = 2\pi \left[ \frac{3r^3}{3} - \frac{r^3}{3} \right] ] [ = 2\pi \left[ \frac{2r^3}{3} \right] ]

Finalizando com $r=12$ cm:

Agora, substituímos $r=12$:

Portanto, o volume da esfera com raio de 12 cm é $2304\pi {\text{cm}}^3$ ou aproximadamente $7238.23{\text{cm}}^3$ quando $\pi$ é aproximado como $3.14$.