Dois reservatórios contribuem para alimentação de uma canali

Question

Dois reservatórios contribuem para alimentação de uma canalização que está localizada no ponto C. O reservatório  A tem água ao nível 30,00 m. O ponto C está na cota 0,00 m.  Deseja-se extrair uma vazão de 15,00 l/s com pressão de 4.m.c.a. no ponto C.  Qual deverá ser o nível d’água no reservatório B ? ( Usar Hazen - Williams com C = 140).   Dado - Trecho I - Extensão = 1500m e D = 100mm              Trecho II - Extensão = 800m e D = 75mm

Profes A. · Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo:

Dados do Problema

Reservatório A
Nível d'água A: 30,00 m
Ponto C: cota 0,00 m
Vazão desejada em C: 15,00 l/s = 0,015 m³/s
Pressão em C: 4 m.c.a. (metros de coluna d'água)
Tubulações
Trecho I:
- Comprimento $L_{1} = 1500 m$ ,
- Diâmetro $D_{1} = 100 m m = 0, 10 m$
Trecho II:
- Comprimento $L_{2} = 800 m$ ,
- Diâmetro $D_{2} = 75 m m = 0, 075 m$
Fórmula de Hazen-Williams (SI):

h_{f} = 10, 67 \cdot \frac{L \cdot Q^{1, 852}}{C^{1, 852} \cdot D^{4, 87}}

onde:
- $h_{f}$ : perda de carga (m) - $L$ : comprimento (m) - $Q$ : vazão (L/s) - $D$ : diâmetro (mm) - $C$ : coeficiente (adimensional)

Observação: Para SI puro, geralmente $Q$ em m³/s e $D$ em m:

h_{f} = 10, 67 \cdot \frac{L \cdot Q^{1.852}}{C^{1.852} \cdot D^{4.87}}

(Q em L/s e D em mm)
ou

h_{f} = 10, 646 \cdot \frac{L \cdot Q^{1.852}}{C^{1.852} \cdot D^{4.870}}

(Q em m³/s, D em m)

Usaremos o mais comum: Hazen-Williams (para Q em L/s, D em mm, L em m):

Etapa 1: Perdas pelo caminho A → C

h_{f A} = 10, 67 \cdot \frac{1500 \cdot (15)^{1, 852}}{140^{1, 852} \cdot (100)^{4, 87}}

Calculando:

$Q^{1, 852} = 15^{1, 852} \approx 144, 98$
$C^{1, 852} = 140^{1, 852} \approx 10031$
$D^{4, 87} = 100^{4, 87} \approx 7, 41 \times 10^{9}$
$L \times Q^{1, 852} = 1500 \times 144, 98 = 217, 470$
$C^{1, 852} \times D^{4, 87} = 10031 \times 7, 41 \times 10^{9} = 7, 437 \times 10^{13}$

Mas o denominador ficou muito alto pelo fator de D^{4.87}

Calculemos por partes:

d. Calculando com valores intermediários:

$100^{4, 87} = 10^{4, 87 \times \log_{10} 100} = 10^{4, 87 \times 2} = 10^{9, 74} \approx 5, 5 \times 10^{9}$
$140^{1, 852} = 10^{1, 852 \times \log_{10} 140}$
$\log_{10} 140 \approx 2, 1461$
$1, 852 \times 2, 1461 = 3, 976$
Então, $10^{3, 976} \approx 9500$

Portanto, - Denominador: $9500 \times 5, 5 \times 10^{9} = 5, 225 \times 10^{13}$ - Numerador: $1500 \times 144, 98 = 217, 470$

h_{f A} = 10, 67 \times \frac{217, 470}{5, 225 \times 10^{13}}

= \frac{10, 67 \times 217, 470}{5, 225 \times 10^{13}} = \frac{2, 319, 085}{5, 225 \times 10^{13}}

\approx 4, 44 \times 10^{- 8} m

Há uma inconsistência, pois o valor está muito pequeno. Vamos converter a equação para SI total:

Hazen-Williams em SI (usando m³/s e m)

h_{f} = 10, 646 \cdot \frac{L \cdot Q^{1.852}}{C^{1.852} \cdot D^{4.870}}

$L = 1500$ m
$Q = 0, 015$ m³/s
$D = 0, 1$ m
$C = 140$
$Q^{1, 852} = (0, 015)^{1, 852}$
$\log_{10} 0, 015 = - 1, 8239$
$- 1, 8239 \times 1, 852 = - 3, 379$
$10^{- 3, 379} = 0, 00042$

Agora:

C^{1, 852} = 140^{1, 852} = 10^{1, 852 \times \log_{10} 140} = 10^{1, 852 \times 2, 1461} = 10^{3, 976} \approx 9500

D^{4, 87} = 0, 1^{4, 87} = 10^{4, 87 \times \log_{10} 0, 1} = 10^{4, 87 \times (- 1)} = 10^{- 4, 87} \approx 0, 0000135

Denominador = 9500 \times 0, 0000135 = 0, 1282

Numerador = 10, 646 \times 1500 \times 0, 00042 = 10, 646 \times 0, 63 = 6, 71

h_{f A} = \frac{6, 71}{0, 1282} = 52, 36 m

Etapa 2: Trecho II (B → C)

$L = 800$ m
$D = 0, 075$ m
$Q = 0, 015$ m³/s
$C = 140$
$Q^{1, 852} = 0, 00042$
$C^{1, 852} = 9500$
$D^{4, 87} = 0, 075^{4, 87} \to \log_{10} 0, 075 = - 1, 1249; (- 1, 1249 \times 4, 87) = - 5, 482 \to 10^{- 5, 482} = 0, 0000033$

Denominador = 9500 \times 0, 0000033 = 0, 0316

Numerador = 10, 646 \times 800 \times 0, 00042 = 10, 646 \times 0, 336 = 3, 58

h_{f B} = \frac{3, 58}{0, 0316} = 113, 3 m

Nota: No entanto, como são dois reservatórios, e ambos podem alimentar o ponto C, e só o reservatório B é desconhecido.

Etapa 3: Determinando o Nível de B

O nível piezométrico requerido em C é:

Nível em C = cota (0,00 m) + pressão (em metros) = 0, 00 + 4, 00 = 4, 00 m

Para Reservatório A:

Cota em A = 30 m
$h_{f A}$ = 52,4 m (calculado)
Diferença:

30, 0 - h_{f A} = 30, 0 - 52, 4 = - 22, 4 m

Ou seja, a pressão seria negativa — impossível: não é possível obter 15 l/s pelo trecho A sob essas condições.

Para Reservatório B:

Nível B = ?
Perda no trecho II = 113,3 m
Pressão desejada em C = 4 m
Cota em C = 0 m

Então:

Nível em B = Cota em C + Pressão desejada + h_{f B}

N í v e l e m B = 0 + 4 + 113, 3 = 117, 3 m

RESPOSTA FINAL:

O n í v e l d ’ á g u a n o r e s e r v a t ó r i o B d e v e r á s e r 117, 3 m

Resumo Final

Não é possível alimentar C pelo reservatório A nessas condições
O nível em B deve ser 117,3 m acima da cota 0, para garantir 15 l/s e pressão de 4 m.c.a. em C, considerando Hazen-Williams (C = 140, 800m de tubo DN75mm).

Se precisar do detalhamento por outro método ou considerando outra hipótese, avise!

Dois reservatórios contribuem para alimentação de uma canali

Dados do Problema

Etapa 1: Perdas pelo caminho A → C

d. Calculando com valores intermediários:

Hazen-Williams em SI (usando m³/s e m)

Etapa 2: Trecho II (B → C)

Etapa 3: Determinando o Nível de B

Para Reservatório A:

Para Reservatório B:

RESPOSTA FINAL:

Resumo Final

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