Um ponto material realiza um movimento no plano, tal que suas coordenadas são dadas pelas equações:
X=2+6.t e Y=5+8.t Com x e y medidos em metros e t em segundos. Determine:
a) O módulo da velocidade vetorial do ponto.
b) A equação e um esboço gráfico da trajetória descrita pelo ponto.
Oi Ana!
a) A velocidade vetorial de um ponto é dada pela divisão entre o vetor deslocamento (Vetor que representa a variação da posição da partícula entre dois instantes) dividido pelo tempo decorrido durante esse deslocamento.
Como a particula tem velocidade constante, podemos escolher quaisquer dois pontos e instantes de tempo para calcular sua velocidade vetorial.
Ou melhor, sejam
D -> vetor deslocamento
Ra -> vetor posição inicial
Rb -> vetor posição final
(Pense como vetor um par ordenado <x,y>, representando o tamanho de cada componente)
Consideremos Ra o momento de instante t = 0 e Rb o instante t = 2. Logo,
R = (2 + 6t, 5 + 8t) -> P=Vetor posição qualquer e função de t
Ra = (2 + 6 x 0, 5 + 8 x 0)
Ra = (2, 5) -> Posição x,y do corpo em t = 0
Rb = (2 + 6 x 2, 5 + 8 x 2)
Rb = (14, 21) -> Posição x,y do corpo em t = 2
Sendo assim,
D = Rb - Ra (posição final menos inicial)
D = (12, 21) - (2, 5)
D = (12 - 2, 21 - 5)
D = (10, 16)
Logo, a velocidade do corpo é D / delta T, que é
V = (10, 16) / 2
V = (5, 8)
Porém, este é o vetor, como ele pede o módulo, devemos fazer:
mod(V) = raiz(5² + 8²)
mod(V) = raiz(89)
b) As equações que temos para o movimento do ponto representam suas coordenadas em função do tempo que se passou desde o início do movimento. Como aqui pede-se uma equação da trajetória, devemos deduzir uma expressão que envolva apenas as coordenadas X e Y, que vai representar a posição da partícula.
Para fazer isso, vamos isolar o t e igualarmos as equações. Podemos fazer isso pois sabemos que o t é igual para ambas as expressões, afinal, representam o tempo, que independe de qual coordenada olhamos.
Logo, para x:
x = 2 + 6t
x - 2 = 6t
t = (x - 2)/6 e para y: y = 5 + 8t y - 5 = 8t t = (y - 5)/8 Agora, se igualarmos as duas expressões (afinal, t = t), eliminanos o t e nos resta apenas as coordenadas: (x - 2)/6 = (y - 5)/88x - 16 = 6y - 306y = 8x + 14y = (8x +14)/6 y = (4/3)x + 7/3 Sendo assim, obtemos uma função afim de Y em função de X, cujo coeficiente angular é 4/3 e coeficiente linear é 7/3. Infelizmente, não consigo esboçar o gráfico aqui pelo site, porém, acredito que seja mais simples você conseguir fazer isso agora tendo a equação explicita da função. Qualquer dúvida, só chamar! Se tiver gostado (ou não) da explicação, pode avaliar, me ajuda muito! Abraços!
Olá Ana.
a) COmo as posições variam com o passar do tempo, pode-se conseguir a velocidade através da derivada de cada equação, desse modo
Vx=6
Vy=8
Como é uma composição de velocidades, a velocidade resultante será dada por:
Vr2=Vx2+Vy2
Vr2=36+64
Vr=10m/s
b)Para obter uma funçao que dê as posiççoes em relação ao eixo x,y pode-se relacioanar as duas equações de espaço dadas:
x=2+6t ->t=(x-2)/6
Usando isso na equação de y:
y=5+8t ->y=5+8.(x-2)/6
y=5+4x/3-8/3
3y=4x+7
y=4/3x+7/3
Será uma reta representando a situação.
Espero ter ajudado
Flávio F. Forner
