Análise combinatória2*

a) Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois repetidos?

Para contar o número de números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos, podemos usar a abordagem de contagem complementar.

Primeiro, vamos calcular o total de números de três algarismos. Como o primeiro algarismo não pode ser zero, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9) e 10 opções para os dois algarismos restantes (0 a 9).

Então, o total de números de três algarismos é $9\times 10\times 10=900$.

Agora, vamos calcular o número de números de três algarismos sem algarismos repetidos. Para isso, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9), 9 opções para o segundo algarismo (0 a 9, excluindo o primeiro algarismo), e 8 opções para o terceiro algarismo (0 a 9, excluindo os dois primeiros algarismos).

Então, o total de números de três algarismos sem algarismos repetidos é $9\times 9\times 8=648$.

Portanto, o número de números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos é o complemento do número de números sem algarismos repetidos, ou seja, $900?648=252$.

b) Quantos números de cinco algarismos têm pelo menos quatro repetidos?

Da mesma forma, podemos usar a abordagem de contagem complementar.

Primeiro, vamos calcular o total de números de cinco algarismos. Como o primeiro algarismo não pode ser zero, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9) e 10 opções para os quatro algarismos restantes (0 a 9).

Então, o total de números de cinco algarismos é 9×104=90,0009×104=90,000.

Agora, vamos calcular o número de números de cinco algarismos sem algarismos repetidos. Para isso, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1 a 9), 9 opções para o segundo algarismo (0 a 9, excluindo o primeiro algarismo), 8 opções para o terceiro algarismo (0 a 9, excluindo os dois primeiros algarismos), 7 opções para o quarto algarismo (0 a 9, excluindo os três primeiros algarismos), e 6 opções para o quinto algarismo (0 a 9, excluindo os quatro primeiros algarismos).

Então, o total de números de cinco algarismos sem algarismos repetidos é $9\times 9\times 8\times 7\times 6=30,240$.

Portanto, o número de números de cinco algarismos com pelo menos quatro algarismos repetidos é o complemento do número de números sem algarismos repetidos, ou seja, $90,000?30,240=59,760$.

a) Para contar o número de números de três algarismos com pelo menos dois algarismos repetidos, podemos considerar os casos em que todos os algarismos são iguais, os casos em que exatamente dois algarismos são iguais e os casos em que os três são diferentes. 1. Todos os algarismos iguais: Existem 9 números assim (111, 222, ..., 999). 2. Exatamente dois algarismos iguais: Para cada par de algarismos diferentes (de 1 a 9), podemos escolher 1 dos 3 algarismos para repetir, então há 9 * 3 = 27 números assim. 3. Todos os algarismos diferentes: Existem 9 * 8 * 7 = 504 números assim. Portanto, o total é 9 + 27 + 504 = 540 números. b) Para números de cinco algarismos com pelo menos quatro algarismos repetidos, há dois casos a considerar: 1. Todos os algarismos iguais: Existem 9 números assim (11111, 22222, ..., 99999). 2. Exatamente quatro algarismos iguais: Existem 9 possíveis algarismos para serem repetidos, e para cada um deles, podemos escolher 4 dos 5 algarismos para repetir, então há 9 * 5 = 45 números assim. Portanto, o total é 9 + 45 = 54 números.