Bom dia, Beatrhiz!
Para resolver este problema, precisamos realizar algumas integrais duplas sobre a região D, que convém descrevermos pelos seus limites em x e y da seguinte forma:
D = {(x,y) tais que 0<=x<=1-y² e 0<=y<=1}
*Os limites são estabelecidos pela parábola dada e pelos eixos x e y; por estar no primeiro quadrante, ambas as coordenadas são não negativas; o valor de x é limitado superiormente pela parábola, e o de y atinge seu valor máximo quando x = 0 (e então y>=0 implica y=1, seu valor máximo).
1. Para encontrar a massa da lâmina, devemos integrar a função densidade p(x,y)=y na região D. Utilizando os limites acima descritos, integramos primeiro em x e depois em y, obtendo então o valor de 1/4 para a massa.
2. Para determinar o centro de massa da lâmina, precisamos descobrir as coordenadas (x_cm, y_cm). Temos o seguinte:
- A integral da função x*p(x,y) = x*y na região D é igual a x_cm * massa;
- A integral da função y*p(x,y) = y² na região D é igual a y_cm * massa;
Como já temos a massa, basta calcular essas duas novas integrais nos mesmos limites de antes.
A integral de x*y em D resulta em 1/12; dividindo pela massa, 1/4, obtemos que x_cm = 1/3;
A integral de y² em D resulta em 2/15; dividindo pela massa, obtemos que y_cm = 8/15;
Portanto, o centro de massa da lâmina é: (1/3 , 8/15).
3. Por fim, temos as seguintes integrais para determinar os momentos de inércia em relação a cada eixo:
- momento de inércia em relação ao eixo x: integral dupla de y² * p(x,y) = y³ na região D, que resulta em 1/12;
- momento de inércia em relação ao eixo y: integral dupla de x² * p(x,y) = x² * y na região D, que resulta em 16/105.
Note que todas as integrais desse exercício são realizadas nos mesmos limites, estabelecidos pela região D, e como eu deixei o limite de x em função de y, sempre integrei primeiro em x e depois em y.
