Na figura, considere a sequencia infinita ( C1, C2, C3 ...) da circufenrencia tangente interiormente, tal que o centro da cada circuferencia Cn, pertence à seguinte
Mostre que :
a) Os perímetros dessas circuferencias decrescente, formam um PG de razão 1/2
b) As áres dos círculos limitados por essas circuferencias de ordem decrescente , formam um PG de razão 1/4.
OBS: A figura tem uma circuferencia dentro da outra (pega numa determinado ponto da circuferencia e vai colocando um dentro do outro
a) Para mostrar que os perímetros das circunferências formam uma progressão geométrica (PG) de razão 1/2, podemos considerar o perímetro de cada circunferência Cn. O perímetro de uma circunferência é dado por P = 2. pi.r, onde r é o raio.
Assumindo que o raio da circunferência Cn seja rn, temos que o perímetro Pn é 2. pi.rn. Como as circunferências são tangentes interiormente, podemos relacionar os raios da seguinte forma: rn+1 = rn/2.
Substituindo isso na expressão do perímetro, obtemos Pn+1 = 2. pi. (rn+1) = 2.pi.(rn/2) = pi.rn.
Isso mostra que os perímetros formam uma PG com razão 1/2.
b) Para mostrar que as áreas dos círculos formam uma PG de razão 1/4, podemos usar a fórmula da área de um círculo A = pi.r^2.
A área An do círculo Cn com raio rn é pi.rn^2. Como os raios formam uma PG com razão 1/2 (rn+1 = rn/2), podemos expressar o raio como rn = r1*(1/2)^(n-1), onde r1 é o raio da primeira circunferência.
Substituindo isso na expressão da área, obtemos An = pi.(r1*(1/2)^(n-1))^2 = pi.r1^2*(1/4)^(n-1).
Isso mostra que as áreas formam uma PG com razão 1/4.
Espero ter ajudado!
