Como calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética

Question

Profes A. · Accepted Answer

A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser calculada utilizando a fórmula:

S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n})

onde: - $S_{n}$ é a soma dos $n$ primeiros termos da PA, - $n$ é o número total de termos, - $a_{1}$ é o primeiro termo da PA, - $a_{n}$ é o enésimo (último) termo da PA.

Outra forma de representar a soma da PA é usando a fórmula do termo geral da PA, que é dada por:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r

onde $r$ é a razão da PA (a diferença entre dois termos consecutivos).

Substituindo $a_{n}$ na fórmula da soma, temos:

S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + (a_{1} + (n - 1) \cdot r))

Simplificando, obtemos:

S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (2 a_{1} + (n - 1) r)

Exemplo prático

Suponha que você tenha uma PA onde $a_{1} = 2$ , $r = 3$ e você deseja calcular a soma dos 5 primeiros termos.

Primeiro, calcule $a_{n}$ :

a_{5} = a_{1} + (5 - 1) \cdot r = 2 + (4 \cdot 3) = 2 + 12 = 14

Agora, use a fórmula da soma:

S_{5} = \frac{5}{2} \cdot (2 + 14) = \frac{5}{2} \cdot 16 = 5 \cdot 8 = 40

Portanto, a soma dos 5 primeiros termos desta PA é 40.

Silas A. · Answer

A soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

Sn= n/2 . (a1 +an)

Onde:

é a soma dos primeiros termos da PA.
é o número de termos da PA.
é o primeiro termo.
é o último termo (ou o enésimo termo da sequência).

Se não conhecemos diretamente o último termo (), podemos calculá-lo usando a fórmula do termo geral da PA:

Onde:

é a razão da PA (a diferença constante entre os termos consecutivos).

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