1) Escontre o argumento e de a representação geométrica de z = -2+2√ 3i
2) Qual o valor de (√ 3+i)¹²?
Antes de mais nada, precisamos encontrar a representação geométrica no plano Argand-Gauss. Como Z= -2+2raiz(3)i, temos que a=-2 e b=2raiz(3), de forma que o gráfico no plano complexo fica assim:
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%280%2C0%29+%28-2%2C2*sqrt%283%29%29
Tendo o gráfico, o argumento é o ângulo que a reta representa faz com o eixo horizontal. Como, pela figura, vê-se que tal ângulo é obtuso, visto que o valor de "a" é negativo (-2), basta encontrar o ângulo suplementar, que chamarei de ,e depois fazer
.
Olhando para o gráfico, temos que: .
O valor da tangente deu negativo porque o ângulo se encontra no segundo quadrante. Sabemos, portanto, que o ângulo cuja tangente é raiz(3) é o 60 (ou pi/3). Fazendo 180 - 60, teremos que o argumento é justamente 120º.
Já no tocante ao item b, aí é conta, não tem o que fazer:
(você pode verificar este resultado no caderno, não é difícil fazer, mas daria muito trabalho reproduzir todas as contas aqui). A expressão, então, ficaria assim:
