Determine as equações das perpendicular à recta r:7x-24y+1=0

Para determinar as equações das retas perpendiculares à reta dada $r:7x-24y+1=0$, precisamos primeiro encontrar o coeficiente angular (inclinação) da reta $r$.

A equação pode ser expressa na forma $y=mx+b$, onde $m$ é o coeficiente angular. Vamos reescrever a equação dada nessa forma:

Portanto, o coeficiente angular $m$ da reta $r$ é $\frac{7}{24}$.

Retas perpendiculares têm coeficientes angulares cuja multiplicação é $-1$. Portanto, se uma reta é perpendicular à reta $r$, seu coeficiente angular será o negativo do inverso: $m=-\frac{24}{7}$.

A equação geral de uma reta perpendicular pode ser expressa como:

Agora, desejamos encontrar as retas nesta família que estão a uma distância de 3 unidades do ponto $P(1,0)$.

Para calcular a distância de uma reta até um ponto, usamos a fórmula:

Para a reta perpendicular, $A=\frac{24}{7}$, $B=1$, e o ponto está na forma originária ( (x_1, y_1) = (1, 0) ).

Sabemos que a distância $d$ deve ser igual a 3. Vamos construir a equação:

Simplificando:

Multiplicamos ambos os lados por $\frac{25}{7}$:

Portanto, temos duas equações para resolver:

1. $-\frac{24}{7}+b=\frac{75}{7}$
2. $-\frac{24}{7}+b=-\frac{75}{7}$

Resolvendo cada uma:

As duas equações das retas perpendiculares à reta original que estão a 3 unidades de distância do ponto $P(1,0)$ são:

e