Forneça a equação cartesiana de uma hipérbole em R2 que satisfaça às condições a seguir, Justificando todas as suas afirmações:
i) As assíntotas desta hipérbole são dadas por 2y = x e x+2y = 4;
ii) A distância entre seus vértices é de 2 unidades;
iii) A reta que contém seus focos é paralela ao eixo y.
Dica: desenhe as assíntotas descritas acima para ter uma ideia de qual é o centro da hipérbole. Use isso e o item ii) para descobrir quais são as coordenadas dos vértices.
Olá, Priscila!
Tudo bem?
O centro da hipérbole é o ponto médio do segmento de reta que liga os dois vértices da hipérbole. Vamos chamar esse centro de C : (c,d).
Como "a reta que contém seus focos é paralela ao eixo y", sabemos que a equação geral da hipérbole será da forma:
(y - d)2/a2 - (x - c)2/b2 = 1
Os significados das constantes a e b você pode ver nesse link: https://sabermatematica.com.br/hiperbole-geometria-analitica.html
Nesse caso a hipérbole PODE estar deslocada no seu exercício, tanto verticalmente quanto horizontalmente. Por isso, há um "desconto" de d para y e c para x, que coincide com as coordenadas do centro, pois o centro original seria a própria origem.
A partir de todas essas informações, vamos tentar elaborar um método para encontrar o valor das constantes acima.
1) As assíntotas de uma hipérbole cujo eixo é o próprio eixo y é dado por:
y = +- (a/b)*x
Porém, sabemos que o eixo da hipérbole pode estar deslocado, então aplicaremos o deslocamento nas assíntotas também:
(y - d) = +-(a/b)(x-c)
Assim: y = (a/b)x - (a/b)c + d (assíntota 1) e y = -(a/b)x +(a/b)c + d (assíntota 2)
Agora vamos comparar com o que o exercício nos dá:
2y = x => y = (1/2)*x (veja que o coeficiente de x é positivo, portanto devemos comparar com a assíntota 1
(1/2)x = (a/b)x -(a/b)c + d => a/b = 1/2 e -(a/b)c + d = 0 => -(1/2)c + d = 0 =>c = 2d e 2a = b (é o que podemos concluir)
Agora para a segunda assíntota.
x + 2y = 4 => y = -x/2 + 2 = -(a/b)x +(a/b)c + d => (a/b)c + d = 2 => (1/2)c + d = 2 => (usando c = 2d) 2d = 2 => d = 1 e c = 2
2) A distância entre os vertíces é 2a. Então, nesse caso, a = 1 e consequentemente b = 2a = 2
Por fim, a equação da hipérbole é:
(y-d)2/a2 - (x-c)2/b2 = 1 => (y-1)2/12 - (x-2)2/22 = 1 => (y-1)2/1 - (x-2)2/4 = 1.
Espero ter ajudado.
