Equações trigonométricas

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) (I) sen(2x + x) = sen(2x)cos(x) + sen(x)cos(2x) (II) Sabendo que: sen(2x) = 2sen(x)cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) sen(2x + x) = 2sen(x)cos²(x) + sen(x)*[cos²(x) - sen²(x)] (III) Igualando (III) à sen(x) 2sen(x)cos²(x) + sen(x)*[cos²(x) - sen²(x)] = sen(x) 2cos²(x) + cos²(x) - sen²(x) = 1 Substituindo sen²(x) = 1 - cos²(x) 3cos²(x) - 1 + cos²(x) = 1 cos²(x) = 1 x = N*pi com N = números inteiros (-1, 0, 1, 2 ...)

Se você observar bem o círculo trigonométrico você é capaz de concluir que o sen a = sen b ocorre em 2 casos: 1) se a estiver no 1º quadrante e b no 2º quadrante: b = pi - a + 2*k*pi ( observe: 120 = 180 - 60, sen120 = sen60 ), k é inteiro 2) se a estiver no 3ª quadrante e b no 4º quadrante: b = 3*pi - a + 2*k*pi (observe: 300 = 360 + 180 - 240, sen300 = sen240), k é inteiro Mas note que, no segundo caso, o 3*pi pode ser quebrado em pi +2*pi e esse 2*pi incrementado no k, então ambos os casos se resumem em b = pi - a + 2*k*pi, lembrando que esse 2*k*pi se trata de uma volta completa no circulo trigonométrico. Sendo assim: b = 3x, a = x -> 3x = 180-x +360k ->4x = 180 +360k -> x = 45 +90*k, k inteiro (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)