Quais os extremos absolutos da função g(x) = x − 2 sen x, no intervalo 0 ≤ x ≤ π?
Quais os extremos absolutos da função g(x) = x - 2 sen x, no intervalo 0 <= x <= pi?
Olá Léticia.
Para você encontrar os extremos absolutos, ou seja, o ponto de máximo ou mínimo, você precisa encontrar o ponto crítico.
O ponto critico é o valor de x em que a derivada da função g(x) é igual zero.
A derivada de g(x) é g'(x)=1 -2cosx.
O ponto em que g'(x)=0 :
0=1 - 2cosx =>cosx=1/2 => x=pi/3
Resposta: No intervalo 0 <= x <= pi, o valor de x em que a função assume um ponto de extremo absoluto é o x=pi/3.
Bom, espero ter ajudado.
Primeiro, note que g(0)=0 e g(pi)=pi. Visto que g é uma função contínua em um intervalo compacto, então g possui pontos de máximo e mínimo absolutos. Se for 'a' um ponto de extremo absoluto de g tal que 0<a<pi, então deve ser g'(a)=0, isto é, 1-2cos(a)=0, o que nos daria cos(a)=1/2 e, portanto, a=pi/3. Porém, note que g(pi/3) = pi/3 - 2.((raiz de 3)/2) = pi/3 - (raiz de 3) < 0. Portanto, g'(pi/3)=0 e g(pi/3)<0, segue daí que pi/3 é um ponto de mínimo absoluto. Portanto, não existe ponto de máximo absoluto 'b' tal que 0<b<pi. Logo, como g(pi)=pi, então pi é o máximo absoluto da função g e pi é o ponto de máximo da função g. Concluímos que pi/3 é o ponto de mínimo e pi é o ponto de máximo da função g, sendo pi/3 - (raiz de 3) o valor mínimo absoluto e pi o valor máximo absoluto que a função g assume.
