Considere, num plano munido de um referencial o.n. Oxy os pontos A(4,2), B(3,4) e C (x,y) com x,y pertencente R.
Determine o(s) valor(es) de x de modo que o triângulo ABC seja equilátero.
Olá, tudo bem?
A resolução ficou longa, tentei detalhar os processos, espero que te ajude !
Para resolver este problema precisamos ter em mente o conceito de triângulo equilátero: Triângulo em que todos os lados tem mesma medida.
Eu coloquei os pontos dados(A e B) em um plano para visualizarmos melhor o problema! Imagem: https://ibb.co/pdjb5m9
Uma das formas de resolver esse problema de forma prática, é através da área do triângulo e de uma matriz.
Vamos lá!
A área do triângulo equilátero pode ser descrita por , sendo L a medida do lado do mesmo.
Para descobrirmos a medida do lado precisamos calcular a distância entre A e B.
A fórmula para isso é esta:
Colocado os dados na fórmula temos:
Com a medida do lado podemos calcular a área!
Com a área basta montarmos uma matriz com os pontos do triângulo.
, sendo D o determinante.
Agora basta montar a matriz.
D= I Xa Ya 1I
I Xb Yb 1I
I Xc Yc 1I
D= I 4 2 1I 4 2
I 3 4 1I 3 4
I Xc Yc 1I Xc Yc
Resolvendo a matriz temos que:
Portanto com como , a área é o dobro do determinante:
Resolvendo esta equação temos que:
Multiplicando tudo por -1:
Para obetermos uma segunda equação e montarmos um sistema com essa, pode ser feito o seguinte cálculo:
Temos a distância entre os pontos A e B. Perceba que a distância AB que foi calculada será a mesma de BC e AC, pois o triângulo deve ser equilátero, portanto, Basta escolhermos um dos pontos( A ou B) e colocarmos a distância na fórmula.
, Elevando os dois lados ao quadrado temos,
Temos acima a primeira equação, agora vamos calcular a partir de B.
, desenvolvendo a equação temos:
Temos acima a segunda equação.
Observe que agora podemos montar um sistema com estas duas equações!
Subtraindo uma da outra temos:
Simplificando temos que:
(multiplicando por -1)
(Dividindo toda equação por dois)
POR FIM, com essa equação e a primeira calculada(lá em cima!) podemos montar o sistema final !
Resolvendo temos que:
e
Como você pode ver nesta imagem as distancia entre os pontos são de iguais, portanto o triângulo é equilátero com este ponto C: Imagem https://ibb.co/L1PDqbb
Espero ter ajudado, até !
Olá Mafalda, tudo bem?
Para resolver esse problema vou usar uma intuição que vem do desenho geométrico:
1. Considere a distância entre os pontos dados
e
.
2. Trace uma circunferência com centro em
e raio
.
3. Trace uma circunferência com centro em
e raio
.
4. Essas circunferências se cruzam em dois pontos, qualquer um desses pontos pode ser tomado como o ponto .
Para ver que a construção anterior é verdadeira veja que como o ponto pertence à
, ele dista
de
e como
pertence à
, ele dista
de
. Portanto, todos os pontos desse triângulo
distam
um do outro, logo é um triângulo equilátero. Pois bem, isso é só a intuição, agora vamos a resolução:
1. Calcular a distância : Você pode usar seu método favorito: fórmula da distância entre dois pontos, ou Pitágoras. Usarei a fórmula, temos:
2. Construir a circunferência : sabemos que a equação de uma circunferência que passa por
e tem raio
é
. Como o centro agora é
e o raio é
temos
3. Construir a circunferência : sabemos que a equação de uma circunferência que passa por
e tem raio
é
. Como o centro agora é
e o raio é
temos
4. Encontrar a intersecção entre as circunferências: Lembre-se que encontrar uma solução para a intersecção de dois objetos dados por equações (reta e reta, reta e cirfunferência, circunferência e circunferência, etc.) é equivalente a encontrar a solução para o sistema de equações constituido pelas equações dos objetos em questão, assim encontrar corresponde a encontrar a solução para
,
resolver esse sistema eu deixarei para você tentar fazer, minha dica é: abra todos os quadrados, subtraia uma equação da outra, você chegará uma equação de primeiro grau relacionando e
, isole um deles nessa equação e substitua em qualquer uma das equações originais do sistema, você cairá numa equação do segundo grau de uma incógnita que você pode resolver por Bháskara por exemplo (se isolar
a equação do segundo grau é em termos de
e se isolar
a equação de segundo grau é em termos de
). Resolvendo a equação do segundo grau, você encontrará dois valores para
(ou para
), daí, basta substituir esses dois valores um de cada vez em qualquer uma das equações originais e você obtém os correspondentes valores de
(ou de
). Fazendo dessa forma, obtemos dois pontos:
Como mencionado no início, qualquer um desses dois pontos satisfaz o que foi pedido no problema.
Espero ter ajudado!
Qualquer dúvida, pode entrar em contato:
email: pedro.bortolucci@gmail.com
whatsapp: (19) 97112-2019
Considere, num plano munido de um referencial o.n. Oxy, os pontos A(4,2), B(3,4) e C (x,y) com x,y pertencente R.
Determine o(s) valor(es) de x de modo que o triângulo ABC seja equilátero.
Note que
entao
logo
Segue-se
Restando as equacoes
Substituindo
Logo os pontos sao
