Números irracionais

b) Nem toda raiz de um numero racional é um numero racional, por exemplo, raiz de 5 é um numero irracional. c) Os números irracionais são elementos que não podem ser colocados no formato de frações, pois, nesses casos, os numeradores e denominadores precisam ser valores inteiros. Esses números caracterizam-se pela infinidade de casas decimais e ausência de periodicidade. Além disso, não existem elementos em comum entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos irracionais, mesmo sendo integrantes do conjunto dos números reais. São exemplos de irracionais: ?3 = 1,73205080756887729… ?8 = 2,82842712474619... ?13 = 3,60551275463989... ?71 = 8,426149773176359... a raíz de um irracional também é irracional d) Nem toda raíz de um número racional terá como resultado um número racional

a) Não. b) Sim. c) Não. d) Sim.

Perfeito, vamos analisar cada caso isoladamente:

(a) ?x irracional implica x irracional?
Não, isso é possível encontrar contraexemplos simples, como ?2 e ?3, que são números irracionais, enquanto 2 e 3 são racionais. 

(b) ?x racional implica x racional?
Sim, nesse caso precisamos provar: se ?x é racional, pode ser escrito como a/b (com a e b sendo inteiros e b diferente de zero), como x=(?x)², temos que x=(a/b)²=a²/b² = (a/b)(a/b). Como o produto de dois racionais é um racional, está correta a afirmação. 

(c) x irracional implica ?x irracional?
Sim, a prova é a negação do ítem b. Pela lógica temos que se uma afirmação leva a outra, a negação da segunda implica na negação da primeira. Mas ainda podemos pensar que como x não pode ser escrito como a/b, ?x também não pode.

(d) x racional implica ?x racional?

Não, utilizando a mesma ideia do ítem a, temos que 5 e 6 são racionais, mas ?5 e ?6 não. 

Lembrando que a definição mais clara de irracional são os números que não podem ser escritos em forma de fração. 

Espero que eu tenha ajudado!