Permutações

Começando por uma vogal, temos:

1 caso: começa com letra A

A _ _ _ _ _ _

Nesse caso, há 6!/2!= 360 combinações

Dividiu-se pelo 2! pois o R repete-se 2 vezes.

2 caso: começa com letra O

O _ _ _ _ _ _

Nesse caso, há 6!/2!2!=180 combinações

Dividiu-se pelo 2! duas vezes pois o R e o A repetem-se 2 vezes.

Logo, x=180+360=540

Começando por uma consoante, 

1 caso: começa pela letra R

R _ _ _ _ _ _

Nesse caso, há 6!/2!= 360 combinações

Dividiu-se pelo 2! pois o A repete-se 2 vezes.

2 caso: começa pela letra N

N _ _ _ _ _ _

Nesse caso, há 6!/2!2!= 180 combinações

Dividiu-se pelo 2! duas vezes pois o A e o R repetem 2 vezes.

3 caso: começa pela letra J

180 combinações (igual quando começa com N)

Portanto, y=180+180+360=720

Assim, x+y=540+720=1260

Para resolver essa questão, podemos usar a técnica de contagem de arranjos com repetição. A palavra ARRANJO tem 7 letras, sendo 3 vogais (A, A e O) e 4 consoantes (R, R, N e J).

Para encontrar o número de anagramas que começam por vogal, podemos fazer o seguinte:

1. Escolher uma vogal para a primeira posição: temos 3 opções (A, A ou O).
2. Preencher as demais posições: temos 6 letras restantes para escolher, podendo repetir as letras (pois estamos contando anagramas com repetição). Assim, temos 6 possibilidades para a segunda posição, 5 possibilidades para a terceira posição e 4 possibilidades para a quarta posição.

Portanto, o número de anagramas que começam por vogal é dado por:

3 × 6 × 5 × 4 = 360

Agora, para encontrar o número de anagramas que começam e terminam por consoante, podemos fazer o seguinte:

1. Escolher uma consoante para a primeira posição: temos 4 opções (R, R, N ou J).
2. Escolher uma consoante para a última posição: temos 3 opções restantes.
3. Preencher as demais posições: temos 5 letras restantes para escolher, podendo repetir as letras. Assim, temos 5 possibilidades para a segunda posição, 4 possibilidades para a terceira posição e 3 possibilidades para a quarta posição.

Portanto, o número de anagramas que começam e terminam por consoante é dado por:

4 × 3 × 5 × 4 × 3 = 720

Por fim, para encontrar o valor de x + y, basta somar os resultados obtidos:

x + y = 360 + 720 = 1080

Portanto, o valor de x + y é 1080.