Para a descrição do critério de divisibilidade por 11, também utilizaremos um exemplo. Seja n um número de 5 digitos abcde. Como sabemos esse pode ser representado como: n= aX10⁴ + bX10³ + cX10² + dX10 + é. Fazemos as seguintes substituiçoes: I. 10 = 10-1; II. 100 = 99 + 1; III. 1000 = 1001 - 1; IV. 10000-9999 + 1.
obtemos: a(9999 + 1) + b(1001 - 1) + c(99 + 1) + 4(11 - 1) + c =\ 999a + 1001b + 99c + 11d + [(a + c + epsilon) - (b + d)] .
Como 9999a+1001b+99c+11d é divisivel por 11, então n será divisivel por 11, se, e somente se, [(a+c+e)-(b+d)] o for. Observe que os dígitos a, c e ocupam posições impares em abcde enquanto be d posições pares. Nesta última sentença, utilizamos dois fatos elementares: 1) todo número da forma 99.9, onde o número de "9"s é par, é divisivel por 11.
2) Todo número da forma 100...01, onde o número de "0"s entre os dois "uns"é par, também é múltiplo de 11. Para a prova observe que 9999 = 9900+ 99, 999999999900+99..., e que 1001=990+11; 10000199990-11,....
EXPLIQUE DETALHADO ISSO ACIMA PRA UMA SEMINÁRIO E NAO TO ENTENDEDO
O critério de divisibilidade por 11 que você descreveu é uma maneira interessante de verificar se um número é divisível por 11. Ele se baseia na propriedade de que um número é divisível por 11 se a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares também for divisível por 11.
Vamos resumir os passos para verificar a divisibilidade de um número de 5 dígitos usando esse critério:
Represente o número de 5 dígitos como abcde, onde a, b, c, d e e são os dígitos individuais.
Use as substituições que você descreveu para expressar o número de uma forma diferente: n = 999a + 1001b + 99c + 11d + (a + c + e) - (b + d).
Observe que 999a + 1001b + 99c + 11d é divisível por 11, pois essa é a parte que você demonstrou ser divisível por 11.
Portanto, n será divisível por 11 se, e somente se, (a + c + e) - (b + d) também for divisível por 11.
Observe que os dígitos a, c e e ocupam posições ímpares, enquanto b e d ocupam posições pares. Isso se encaixa na propriedade geral de divisibilidade por 11 que você mencionou.
Você também mencionou duas propriedades fundamentais: números da forma 99...9 (com um número par de dígitos 9) e números da forma 100...01 (com um número par de dígitos 0 entre dois 1) são divisíveis por 11.
Em resumo, seu critério de divisibilidade por 11 é uma aplicação interessante dessas propriedades. Se a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares for divisível por 11, então o número original também será divisível por 11. Isso pode ser uma maneira eficaz de verificar a divisibilidade por 11 de um número sem fazer a divisão.
Claro, vou explicar detalhadamente o critério de divisibilidade por 11 usando a sua descrição, para que você possa apresentá-lo em um seminário de forma clara e compreensível.
Critério de Divisibilidade por 11
1. Representando um número de 5 dígitos
Começamos com um número de 5 dígitos, representado como "abcde". Isso pode ser escrito na forma expandida como:
n = a * 10^4 + b * 10^3 + c * 10^2 + d * 10 + e
Agora, vamos fazer algumas substituições para facilitar a compreensão:
2. Substituições
I. 10 = 10^(-1)
II. 100 = 99 + 1
III. 1000 = 1001 - 1
IV. 10000 = 9999 + 1
Isso nos permite reescrever n da seguinte forma:
n = a * (9999 + 1) + b * (1001 - 1) + c * (99 + 1) + d * (11 - 1) + e
Agora, distribuindo os termos:
n = 9999a + a + 1001b - b + 99c + c + 11d - d + e
3. Simplificação*
Agora, podemos simplificar os termos da seguinte forma:
n = 9999a + 1001b + 99c + 11d + (a + c + e) - (b + d)
Observe que 9999a + 1001b + 99c + 11d é claramente divisível por 11.
4. Critério de Divisibilidade
Agora, o critério de divisibilidade por 11 se resume ao seguinte:
- Se a expressão (a + c + e) - (b + d) for divisível por 11, então o número n é divisível por 11.
Observe que isso é possível devido às propriedades de divisibilidade de 11 em relação à diferença entre a soma dos dígitos nas posições ímpares (a, c, e) e a soma dos dígitos nas posições pares (b, d).
5. Fatos Elementares para a Divisibilidade por 11
A explicação final envolve dois fatos elementares:
1) Números da forma 99...9, onde o número de "9"s é par, são divisíveis por 11.
Por exemplo, 99 é divisível por 11, 9999 é divisível por 11, 999999 é divisível por 11, e assim por diante. Isso ocorre porque a diferença entre a soma dos dígitos nas posições ímpares e a soma dos dígitos nas posições pares é sempre zero ou um múltiplo de 11.
2) Números da forma 100...01, onde o número de "0"s entre os dois "uns" é par, também são divisíveis por 11.
Por exemplo, 1001 é divisível por 11, 100001 é divisível por 11, e assim por diante. Isso ocorre porque a diferença entre a soma dos dígitos nas posições ímpares e a soma dos dígitos nas posições pares é sempre zero ou um múltiplo de 11.
Portanto, ao combinar esses fatos elementares com a representação de números em termos de potências de 10 e a simplificação anterior, podemos concluir que o critério de divisibilidade por 11, conforme descrito, é válido e útil para determinar se um número é divisível por 11.
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