Como provar que essa afirmação é incorreta? "Um triângulo sempre ocupa mais de um quarto da área do
círculo a ele circunscrito"
Para provar que a afirmação é incorreta, podemos apresentar um contraexemplo.
Considere um triângulo equilátero inscrito em um círculo. Nesse caso, os vértices do triângulo são pontos sobre a circunferência do círculo. O triângulo equilátero é conhecido por ter todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais a 60 graus.
A área de um triângulo equilátero pode ser calculada usando a fórmula:
Área do triângulo equilátero = (lado^2 * 3) / 4,
onde "lado" é o comprimento de um dos lados do triângulo.
A área de um círculo pode ser calculada usando a fórmula:
Área do círculo = pi * raio^2.
No caso do triângulo equilátero inscrito em um círculo, o raio do círculo é igual ao comprimento de um dos lados do triângulo.
Agora, vamos comparar as áreas do triângulo equilátero e do círculo:
Área do triângulo equilátero = (lado^2 * 3) / 4 Área do círculo = pi * raio^2 = pi * lado^2.
Dividindo a área do triângulo equilátero pela área do círculo:
Área do triângulo equilátero / Área do círculo = ((lado^2 * 3) / 4) / (pi * lado^2) = (
3 / 4pi).
Podemos observar que (3 / 4pi) é aproximadamente 0,1447.
Portanto, temos um exemplo em que a área do triângulo equilátero (0,1447) é menor que um quarto da área do círculo circunscrito (1/4 0,25).
Dessa forma, o contraexemplo acima mostra que a afirmação "Um triângulo sempre ocupa mais de um quarto da área do círculo a ele circunscrito" é incorreta.
Um triângulo pode ocupar menos de um quarto da área do círculo a ele circunscrito.
Para visualizar isso, pense em um círculo com um triângulo equilátero inscrito. A área do círculo é dada por ?*r^2, onde r é o raio do círculo. A área do triângulo equilátero é (?3 / 4) * l^2, onde l é o comprimento de um lado.
No triângulo equilátero inscrito, o raio do círculo é o mesmo que a altura do triângulo, que é ?3 / 2 * l. Substituindo r na fórmula da área do círculo, obtemos a área do círculo como ? * (?3 / 2 * l)^2 = 3?/4 * l^2.
Comparando as áreas do círculo e do triângulo, temos:
Área do triângulo / Área do círculo = (?3 / 4) * l^2 / (3?/4 * l^2) = ?3 / 3?.
Este valor é menor que 1/4, mostrando que o triângulo equilátero inscrito ocupa menos de um quarto da área do círculo a ele circunscrito.
Além disso, se você pensar em um triângulo ainda mais "achatado", ocuparia uma fração ainda menor da área do círculo. Por exemplo, se você desenhar um triângulo muito longo e estreito dentro de um círculo, a área desse triângulo pode ser arbitrariamente pequena em comparação com a área do círculo. Portanto, o triângulo pode ocupar muito menos que um quarto da área do círculo.
