Para determinar o número de vértices e arestas de um dodecaedro, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é:
onde é o número de vértices, é o número de arestas e é o número de faces.
No caso de um dodecaedro:
Cada face de um dodecaedro é um pentágono, que possui 5 arestas. Portanto, o número total de "contribuições de arestas" pelas faces é . No entanto, cada aresta é compartilhada entre duas faces, então o número total de arestas é:
Agora que temos e , podemos usar a fórmula de Euler para encontrar , o número de vértices:
Portanto, um dodecaedro possui 20 vértices e 30 arestas.
Um dodecaedro é um poliedro regular com 12 faces, e cada face é um pentágono. Para determinar o número de vértices e arestas do dodecaedro, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros, que é:
V - A+F=2 => V - A + F = 2 =>
onde:
Como já sabemos que o dodecaedro tem 12 faces:
F=12
Cada face do dodecaedro é um pentágono, que tem 5 arestas. Como temos 12 faces, se contássemos todas as arestas das faces, teríamos:
5×12=60
Porém, cada aresta é compartilhada entre duas faces, então, para encontrar o número total de arestas, dividimos por 2:
Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula de Euler:
V - 30+12=2
Simplificando:
V - 18=2 =>
Portanto, um dodecaedro possui:
