Existe a palavra "Namoro-a" ?
Sim.
Na realidade, Sophia, se você nos permite uma observação preliminar, em "Namoro-a" não temos uma palavra, mas um conjunto de palavras (uma construção, uma frase, uma oração), formado pelo verbo namorar, na primeira pessoa do presente do indicativo (namoro), e o pronome oblíquo átono feminino singular a.
A construção está correta sim. Errada estaria se, em lugar do pronome a (que representa o objeto direto), hovesse sido empregado o pronome lhe (que representa o objeto indireto), considerando que o verbo namorar é transitivo direto (quem namora, namora alguém ou alguma coisa, e não a alguém ou a alguma coisa). Corretamente falando ou escrevendo, se diz: ele namora você (ele a namora), eu namoro Francisca (eu a nomoro), Joana namora Pedro (Joana namora-o), e não a você, ou a Francisca, ou a Pedro.
Quanto à posição do pronome, está correta. Ele deve vir mesmo após o verbo (enclítico): "Namoro-a", e não "a namoro", visto que a frase não deve ser iniciada por pronome oblíquo (e o sujeito eu, oculto que está, não inicia a oração, a oração não começa por ele).
