Obtenha as expressões para as coordenadas críticas a partir da equação de van der Waals.
Mostre detalhadamente os passos/etapas necessários para se chegar às expressões; (b) As constantes
críticas para a água são 374 °C, 22 MPa e 0,057 L/mol. Calcule os valores de a, b e R usando as
relações obtidas da equação de van der Waals, compare o valor de R com o valor correto e discuta a
discrepância
Bom dia Gustavo. Vou deixar para vc os calculos numericos. Aí vai:
Obtenha as expressões para as coordenadas críticas a partir da equação de van der Waals.
Mostre detalhadamente os passos/etapas necessários para se chegar às expressões; (b) As constantes
críticas para a água são 374 °C, 22 MPa e 0,057 L/mol. Calcule os valores de a, b e R usando as
relações obtidas da equação de van der Waals, compare o valor de R com o valor correto e discuta a
discrepância
Soluçao:
Vamos explicitar a equaçao de Van der Waals em termos de pressão;
P = RT/(V-b) - a/V2; para n = 1 mol.
No ponto critico, temos ponto de inflexão da funçao em que a seguna derivada é nula. Também é um ponto de maximo.
(dP/dV)t=constante(isoterma) = -RT/(Vc-b)2 + 2.a/Vc3 = 0 (ponto de maximo).
(d2P/dV2 )t=constante(isoterma) = 2.RT/(Vc-b)3 - 6.a/Vc4 (ponto de inflexão)
Vamos organizar as equaçoes:
2.a/Vc3 = RTc/(Vc-b)2 (I)
6.a/Vc4 = 2.RT/(Vc-b)3 (II)
Dividindo membro a membro, o "a" e o termo "RT" se cancelam e vamos obter Vc = 3b.
Substituindo em (I), teremos Tc = 8.a/27Rb;
Voltando a equaçao de Van der Waals, obteremos Pc = a/27b2;
Explicitando R, teremos:
R=8a/27.Tc.b------------>R=(8/27.Tc.b) * (27.Pc.b2) = 8.Pc.b/Tc = (8.Pc/Tc) * (Vc/3) -------->R=(8/3) * (Pc.Vc/Tc);
Logo, 3/8 = (Pc.Vc/RTc)------------------>(Pc.Vc/RTc) = 0,375 (Van der Waals).
Seria esperado que este valor de (Pc.Vc/RTc) fosse igual a 1. Veja que os valores aceitos de R vieram da "Teoria dos Gases Ideais" que pressupoe que as moleculas ocupam um volume desprezivel comparado ao do sistema. Não há forças de atração entre as moleculas.
Na isoterma crítica de Van der Waals, veja que "Vc= 3.b" o que o que indica que o volume disponivel para as moleculas se movimentarem não é mais desprezivel. Logo, há efeitos de atração entre as moleculas. Daí a discrepância.
Importante:
1. É necessario trabalhar com temperaturas absolutas. Logo, Tc= 374 + 273,15 = 647,15 K.
2. Lembre que 1 MPa = 9,872 atm. Logo, Pc = 22 MPa * (9,872 atm/1 MPa) = 217,184 atm.
3. As unidades de R definem todas as outras tais com 0,082 atm.l/mol.K ou 8,31 J/mol.K.
