[Re]Provando a Prova dos 9
Noemi Z.
em 12 de Março de 2019

Introdução

Nas escolas não se estuda mais a “prova dos 9”. Pode ser que você não conheça, mas já deve ter ouvido falar. Eu não sabia o que era, mas já ouvira, diversas vezes, pessoas mais velhas soltando expressões como “noves fora, nada”, ou “tirar a prova dos 9”. Em algumas ocasiões cheguei a formular uma indagação, mas, como os momentos dificilmente se adequavam a uma discussão matemática, o assunto logo morria. Uma enfática citação dos “noves fora” me fez finalmente encontrar um momento mais propício para entender a manha e a arte da tal artimanha.

 

A artimanha

Papel e caneta, três números escritos e a soma realizada:

Como se tira a prova dos 9? Basta que você vá somando os algarismos das parcelas, subtraindo 9 sempre que a soma igualar ou ultrapassar esse valor. A linguagem costuma ser mais ou menos assim:

            “Um mais cinco, seis; mais sete, treze. Nove fora, quatro. Quatro mais cinco, nove. Nove fora, nada. (próxima parcela) Dois mais sete, nove. Nove fora, nada. Três mais oito, onze. Nove fora, dois. (próxima parcela) Dois mais nove, onze. Nove fora, dois. Dois mais dois, quatro; mais seis, dez. Nove fora, um. Um mais cinco, seis.”

Agora faça o mesmo com os algarismos do total:

            “Um mais três, quatro; mais cinco, nove. Nove fora, nada. Sete mais oito, quinze. Nove fora, seis.”

O resultado foi o mesmo? Isso equivale a dizer que a soma foi realizada corretamente!

.... Será?

 

Em termos mais formais...

Considere os eventos A (o resultado dos “noves fora” foi o mesmo nas parcelas e no total) e B (a conta foi feita de forma correta).

A prova dos 9 afirma que A ⇔ B (A equivale a B), ou seja, que A ⇒ B (A implica B) e que A ⇐ B (B implica A).

Todavia, apenas a segunda implicação é verdadeira! Vejamos o porquê.

Em primeiro lugar, vamos deduzir e relembrar o critério de divisibilidade por 9, a partir de um exemplo simples.

Tome um número de três algarismos, escrito no sistema decimal como abc.

Pelo Algoritmo da Divisão, abc=9×q+r, para algum par de naturais q e r, com 0 ≤ r < 9.

Ora, temos:

abc=9×q+r  

100×a+10×b+c=9×q+r 

99×a+9×b+a+b+c=9×q+r 

9×(11×a+b)+a+b+c=9×q+r 

a+b+c=9×(q-11×a-b)+r   

a+b+c=9×q0+r, com q0=q-11×a-b natural.

Assim, o resto da divisão de abc por 9 é o mesmo resto da divisão de a+b+c por 9. Algo análogo pode ser feito para números de dois, quatro, cinco, ..., n algarismos!

É uma regra geral, que, inclusive, pode ser aplicada quantas vezes forem necessárias. O resto da divisão de 8 765 891 por 9, por exemplo, é o mesmo resto da divisão de 8+7+6+5+8+9+1=44 por 9, que é o mesmo resto da divisão de 4+4=8 por 9, que é... 8, é claro. Desta forma, para que o resto seja nulo, ou seja, o número seja divisível por 9, é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por 9.

Vamos analisar a primeira parte da prova dos 9, ou seja, os “noves fora” com os algarismos das parcelas.

Observe que os algarismos são somados até um resultado 9+n1, com n1 inteiro tal que 0 ≤ n1 < 9. Em seguida, subtrai-se o 9 e soma-se o n1 com os demais algarismos até obter 9+n2, com n2 inteiro e 0 ≤ n2 < 9.

Se deixássemos para subtrair os “noves” no final de cada parcela, o que não faria a menor diferença, devido à propriedade comutativa da adição, estaria explícito a realização do seguinte processo (chamado por mim de novídico), repetido em todas as parcelas:

  1. Soma-se todos os algarismos do número em questão.
  2. Subtrai-se o maior múltiplo de 9 menor ou igual à soma encontrada.

Ao final dos processos novídicos, somaríamos os resultados de cada um deles e subtrairíamos o maior múltiplo de 9 menor ou igual a este último total.

Foque sua atenção no fato de que o resultado de cada processo equivale ao resto deixado pela parcela na divisão por 9. Considere, por exemplo, três inteiros positivos x, y e z. Pelo Algoritmo da Divisão, temos, para qi e ri naturais, com 0 ≤ ri < 9 e i ϵ {1,2,3,4,5}:

x=9×q1+r1;

y=9×q2+r2     e

z=9×q3+r3.

Na primeira parte da prova dos 9 para a soma desses números, os processos novídicos resultariam inicialmente em r1, r2 e r3, sendo o resultado final r4, tal que r1+ r2+ r3=9×q4+ r4. Note que x+y+z=9×(q1+q2+q3+q4)+r4 e que, assim, r4 = resto da divisão de x+y+z por 9!

A segunda parte da prova dos 9 se dará pela realização do processo novídico no total da soma. Sendo S esse total, o resultado do processo será r5, tal que S=9×q5 + r5.

Ora, como devemos ter x+y+z=S, está claro que, SE a soma estiver correta ENTÃO, pela unicidade garantida no Algoritmo da Divisão, teremos r4= r5. Porém, essa igualdade também pode ocorrer em infinitos casos nos quais q1+q2+q3+q4≠ q5, a saber, nos casos em que q1+q2+q3+q4+9×k = q5, com k inteiro não nulo.

E o que acontece? Em casos assim a soma não está correta e a prova dos 9 nos remete um falso positivo. Você pode testar manualmente (ou “calculadoramente”, se estiver com muita pressa) que, no nosso exemplo inicial, a prova dos 9 aprovaria as somas:

e muitas outras...

Voltando aos eventos A e B, está claro que A ⇐ B (ie, B ⇒ A), pois, se a soma estiver correta, os restos da soma das parcelas e do total na divisão por 9 será o mesmo. A ⇒ B, entretanto, é uma implicação falsa para qualquer resultado errado cuja distância ao resultado correto seja um múltiplo de 9.

Por que o 9 e não o 3?

Apenas como curiosidade, é interessante perceber que poderíamos criar, em termos muito semelhantes, a “prova dos 3”. Entretanto, nesse caso, a prova remeteria um falso positivo em todas as ocorrências nas quais o resultado encontrado distasse do correto um múltiplo de 3 não nulo.

Assim, 13 575 e 13 581, por exemplo, seriam resultados aceitos na soma tomada como modelo. Contudo, esses resultados seriam eliminados pela “prova dos 9”. Mais especificamente, a cada três falsos positivos remetidos pela “prova dos 3”, a “prova dos 9” localizaria dois erros, o que a torna melhor, ou menos pior. A prova dos 3 forneceria contraexemplos facilmente e seria percebida como falsa de maneira rápida. Por outro lado, se nos deixarmos levar por alguns exemplos e não pensarmos muito no assunto, não é difícil aceitar a validade da prova dos 9.

Parece pouco provável, mas é possível, ainda, supor que a escolha do 9 teve um caráter estético e simplificador pelo seguinte motivo. A soma de dois algarismos, sendo o primeiro diferente de 9 (do contrário bastaria fazer o “nove fora” e passar para o próximo algarismo), é menor que 18=9 x 2. Dessa forma, no processo que era utilizado, cada “nove fora” com certeza deixava um número menor que 9, ou seja, nunca precisaríamos subtrair o 9 mais de uma vez a cada etapa. Isso não ocorre com o 3 e basta tentar utilizar a “prova dos 3” na soma do exemplo para encontrar, de início, “um mais cinco, seis”, para o qual precisaríamos fazer o “três fora” duas vezes.

 

Considerações finais

Para utilizar os “noves fora” sem dar “um fora” você nunca poderá errar uma soma em um número de unidades divisível por 9. A cada nove possíveis resultados errados, portanto, um será acatado pela prova dos 9. Isso equivale a mais de 11%. É sempre bom ter cuidado com artimanhas assim...

Entretanto, finalizo elogiando a beleza deste antigo pensamento. “Sutilidades” de conceitos simples como divisibilidade podem trazer à tona alguns temas muito belos e interessantes, sendo algo que poderia ser abordado com mais frequência no ensino básico. Ainda, acredito que não é nada legal fazer um estudante decorar algo sem explicar o porquê, a menos que este esteja, realmente, muito longe do objetivo da aula e dos conhecimentos dos alunos.

Carvalhos / MG
Graduação: MATEMATICA (Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF)
Matemática - Equações Equações Polinomiais Progressão Aritmética (PA) Análise Combinatória Fundamentos da Matemática Vetores Funções Exponenciais
Criatividade, beleza, raciocínio. Características reais da Matemática! Quero que se encante até pelos temas que te incomodam! Vamos aprender juntos!? Sou Noemi, graduada em Matemática pela Universidade Federal de Juiz de Fora (2018). Durante a graduação, fui aluna de Iniciação Científica pela UFJF/PI ...
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