Discussão sobre Eletromagnetismo

Seja uma barra que, pela força peso, desliza com aceleração a=g.senθ sobre os lados de dois trilhos metálicos cercados nas extremidades, também por hastes metálicas. O módulo do vetor da força gravitacional vale g e o ângulo de inclinação do plano em que se desloca a barra com o plano horizontal vale θ. Nessa região atua um campo magnético cujo vetor é perpendicular ao plano horizontal, tem sentido para cima e seu módulo vale B. De fato a barra ao se deslocar sobre os trilhos varia a área do quadrado de metal inclinado sob ação do campo magnético.

Como são trilhos metálicos, estamos tratando de condutores e então, ao se movimentar, a barra terá seus portadores de carga sujeitos à força magnética F=q.(vxB). O vetor força é perpendicular ao velocidade e campo, logo, se direciona no sentido direito da barra. Porém, por se tratar de elétrons(q<0) a força para eles é direcionada à esquerda. Por sua vez ao se movimentarem, a densidade de carga não será mais uniforme e, assim, será criado um campo elétrico na direção oposta ao movimento delas. Isso gera uma corrente induzida i=ε/R e uma força contrária ao movimento da barra pela Lei de Lenz. Força essa responsável por desascelerá-la de forma a impor uma velocidade limite.

Analisando a força eletro-motriz(diferença de potencial) gerada na barra deslizante, pela definição de trabalho:

(τ=F.Δd=E.q.(d2-d1)=q.(E.d2-Ed1)=q.(V2-V1)=q.ΔV=q.E.d <-> ΔV=E.d) logo, para o problema, ε=E.l

Com o equilíbrio atingido, a força magnética tem o mesmo módulo da elétrica para os elétrons:

Fm=-Fe <-> q.v.B.sen90°=-q.E=ε/l <-> 

● q=-ε/l.E

● ε=-B.l.v <-> i=-B.l.v/R <-> v=-R.i/B.l

Já para o equilíbrio dinâmico, temos que

Fm=Fp <-> q.v.B.sen90°=(q.l/Δt).B=ε/R.B=-B.l.v/B= m.g.senθ <-> v=m.g.senθ/l.R

Perceba a consistência de modelos:

Pela lei de Faraday-Newman: ε=-dΦ/dt

Tendo em vista que o fluxo do campo magnético é

Φ=B.A.cosα e que o sentido da corrente induzida é tal que se opõe à variação do fluxo que a produziu, a variação do fluxo de dá ou pela variação da distância(intensidade de B) ou pela variação da área, que no caso é o quanto a área aumenta no circuito fechado à medida que a barra desliza.

ΔA=l.Δd com l a largura e d a distância da barra à resistência, ou seja, o produto de sua velocidade(v) pelo tempo(t). Logo 

ΔΦ=B.l.v.Δt -> dΦ=B.l.v.dt <-> 

ε=-(B.l.v.dt)/dt=-B.l.v

Perceba que com a última equação, 

v=-ε/(B.l)=i.R/(B.l) que para o problema...

v=m.g.senθ.R/(B.l)=i.R/(B.l) <->

 i=m.g.senθ.R <-> i/R=ε /R^2=m.g.senθ -> v.B.l=ε/R <-> v=ε/R.B.l

Bom, de fato, a intensidade da corrente induzida é a mesma da força externa que é a mesma da razão entre a força eletro-motriz e a resistência.