Entendendo o que é Matemática

Algo que é curioso por que motivos, a realidade em que vivemos obedece às leis matemáticas?

Se em um tiro para o alto de uma dada altura, for medida a massa e a velocidade do projétil ao sair do cano, é fácil prever qual é a altura máxima que ele vai atingir. Sabendo a massa da Terra e da Lua, é possível prever qual é o tempo que leva para lua completar uma volta na terra; Se é conhecida a massa e a carga do elétron, pode-se atirá-los com uma certa velocidade e direção dentro de um tubo de baixa pressão e fazê-los atingir um ponto preciso no fundo do tubo para emitir luz (da cor que a velocidade dele permitir). Assim, com diversos deles acertando diferentes pontos, se cria uma televisão de tubo.

Pode-se fazer isso através da matemática e de nada mais. Mas estranho é o fato da possibilidade de se fazer isso através da matemática. O que ela tem de especial? Naturalmente, por sua história notou-se que ela é útil quando bem definida.

A matemática é uma estrutura lógica com alguma consistência desconhecida para que possa ser uma descrição dos padrões encontrados na realidade. Tal estrutura é fundamentada na lógica formal:

LÓGICA: Procedimento fundamental único.

1.PROPOSIÇÃO: Oração afirmativa com sentido completo. Ou verdadeira, ou falsa. Ex.: (8=1)

2.AXIOMA: Definições base e fundamentais de uma teoria. Verdades aceitas sem demonstração. Ex.: (O ponto existe)

3.CONJECTURA: Especulações, um possível teorema. Talvez uma proposição verdadeira, mas bem pode ser falsa.

4.HIPÓTESE: Hipo-tese, aquilo que vem antes de um Teorema. Pode se referir a cada um dos passos anteriores, mas tecnicamente, é destinada às informações que se utiliza para a demonstração da conjectura. Informações disponíveis para a prova do teorema. Verdades já existentes

5.TEOREMA/TESE: Verdade aceita mediante uma demonstração.

6.LEMA: Um teorema, relativamente simples, que é usado para demonstrar conjecturas mais complexas.

7.COROLÁRIO: Consequência de um teorema.

8.RELATIVIDADE: Para qual Universo/Conjunto Numérico tal teorema vale. Ex.: (O valor seno de um número Real está contido no intervalo: [-1; 1]).

Alguns teoremas de estruturas matemáticas com fundamentos diferentes parecem significar coisas semelhantes. Isso foi, por muito tempo, motivo de mistérios até se perceber que as regras são mais importantes do que se parece. As regras de inferência definem o rigor com que é tratada sua estrutura. E, se bem pensadas, elas se tornam aquilo que significa a aplicabilidade da matemática.

Embora seja exploratório, nada disso nos ajuda a compreender por que existe essa aplicabilidade de coisas tão irreais, como o axioma da comutatividade (a+b=b+a) na realidade. De fato, é porque os próprios axiomas não podem ser explicados. Eles são definições. Verdades que devem ser aceitas como tal para poder se construir toda uma teoria. Não existem provas deles, apenas evidências. No passado eram assim que as coisas funcionavam e continua até hoje. Parece, então que a comutatividade deve ser uma verdade.

Assim, se soubermos, pois, os porquês dos axiomas, então teremos alguma chance de responder à pergunta da aplicabilidade da matemática. Mas não podemos saber isso. Se analisada a situação, então a matemática se baseia em algo que depende de crenças. Devemos acreditar nos axiomas e como não podemos provar que são verdadeiros, nunca saberemos que nosso desenvolvimento também o é. Mas são razoáveis, consistentes. É tão simples e tão evidente que só podem estar certos. 

Mas e se não estiverem?