Meta-análise Linguístico-Matemática

Toda língua possui seu mecanismo. Tanto as naturais, artísticas, artificiais. Embora essas últimas tenham um caráter lógico mais evidente, todas podem ser interpretadas com as ferramentas da lógica formal. Isso é o que prega o logicismo. A redução da linguagem à lógica formal.

Funções são entidades muito importantes ao se tratar de matemática. Elas relacionam objetos de uma forma peculiar. O objeto a se relacionar é chamado de entrada e o objeto relacionado a ele, chamado de saída. Como, em geral há vários objetos em análise, chama-se o conjunto das entradas de Domínio, e o conjunto das saídas de Imagem. Pode-se criar a função que relacione os números pares(p) com os números ímpares(i), dada a função f(p) = p+1 = i. Nesse caso, o Domínio será o conjunto dos números pares e a Imagem, o conjunto dos números ímpares.

Mas funções não são restritas à matemática somente, pois podemos interagir duas áreas: matemática e linguística. Muitos verbos são reduzidos à ação de causa e consequência. E interessante é que se pode transformar essa ação em funções. Nessas funções, aqui denominadas semânticas, os substantivos seriam os elementos do Domínio e os significados pretendidos comporiam a Imagem. (Já os não pretendidos, que invariavelmente existem, comporiam o contra-domínio.)

Além disso, pode-se definir uma função conjuntiva e, em particular, uma função conclusiva. Essa, agora, não mais relaciona objetos(os substantivos), mas ideias(as funções semânticas). E dessa forma, havería uma segunda função(um tanto incomum) na qual seu domínio e condomínio seriam o conjunto das funções semânticas e não mais o conjunto dos objetos semânticas.

É verdade que, dada uma sentença, é possível criar uma equivalente, de forma que, nesta, sejam evidentes tais funções. Pois, o que de fato importa, é que se pode mensurar a quantidade das duas funções, acima definidas em cada sentença do texto. E, com isso, definir um "coeficiente argumentativo" e um "coeficiente conclusivo". O primeiro, relativo à razão da quantidade de funções semânticas pela quantidade de suas entradas(quantidade de objetos/substantivos). O segundo, relativo à razão da quantidade de ideias(funções semânticas) pela quantidade de funções conclusivas.

 Quanto mais informações(objetos) e quanto menos argumentos(ideias acerca deles), menos eficiente é o texto, pois se torna expositivo. Então, quanto mais eficiente o for, maior é a razão. Já para o segundo, quanto mais ideias gerando menos conclusões melhor, pois a dedução possui mais premissas. Logo, o bom coeficiente também é a maior razão. 

Dada a noção de quantização da linguagem, Imagine que se queora analisar a consistência de um discurso. Se o que se fala é coerente. Existe, como grande ferramenta, a distinção entre Veracidade e Consistência.

Suponhamos que um indivíduo decida criar uma mentira. Sendo assim, é de seu interesse levar a mentira até o final. Se conseguir mantê-la, ele será consistente com sua decisão, mesmo sendo falso. Agora, se por algum motivo, acaba falhando nessa mentira, ou seja, se soltar uma verdade pelo menos, o indivíduo será inconsistente. Mas bem pode ele nunca mentir; ser verdadeiro. E em um dado período, se assim for feito, estará sendo consistente com sua própria verdade e ainda por cima, estará sendo verdadeiro. Porém, se ele mentir, se tornará inconsistente. Pois bem, digamos que a inconsistência de um sistema lógico se dá quando, nele, há a existência de verdades e falsidades. Sistemas inconsistentes não são interessantes, pois, nada por conveniência deve ser verdadeiro E falso. 

Dada tal introdução e voltando ao discurso em questão, que fique ele resumido em duas sentenças. Segue:

(A próxima mensagem é falsa)

(A mensagem anterior é verdadeira)

Em se tratando de um texto, é usual se creditar confiança às suas partes expositivas para a análise dos argumentos. Sendo a primeira frase "A" e a segunda "B" e admitindo "A" como verdadeira, tem-se que, pelo seu conteúdo, "B"é falsa.

Então (A mensagem anterior é verdadeira) é falsa. Portanto pela negação de seu conteúdo, "A" deve ser falsa. Ora, foi admitido "A" como verdadeira e com isso se obtém que "A" é falsa. Temos, então uma contradição.

Em termos diagrâmicos, o que se diz é:

se A -> (~B)

e B -> (A)

então, A -> (~A)

Nesse discurso, há a presença de verdade e falsidade para um mesmo elemento. Então ele é inconsistente. Para afirmar deveríamos checar para uma suposição inicial de que A é falsa. Mas o raciocínio é análogo. Afinal, se "A" era verdadeira e agora é falsa, então "B" que era falsa, agora é verdadeira, mas "B" fala que "A" é falsa, então "A" volta a ser verdadeira e então.....se entra num looping infinito... É um paradoxo. Não há veracidade definida. Há inconsistência. E isso nos leva a uma grande aplicação matemática.

Note que essas frases falam uma da outra. Em português, quando um texto fala sobre ele mesmo ou sobre outro texto, existe uma figura de linguagem chamada metalinguagem. A parte genial é a respeito de Kurt Gödel, um lógico matemático quem levou essa meta linguagem para a matemática. Ou seja, a matemática falando dela mesma. Porém não em uma língua como esta*, mas em língua matemática. Ele criou os números que levam seu nome e esses números, com uma certa operação entre eles, têm significados únicos, semânticas como estas*. De fato, pode-se ainda traduzir textos nessa linguagem. Como o inicial do paradoxo das duas mensagens, 

Gödel se dispôs de tal raciocínio para encontrar inconsistências na matemática. Porém, em sua obra, a análise não é mais sobre sistemas linguísticos, em que para cada sentença pode haver mais de um valor interpretativo, mas sim sobre sistemas matemáticos nos quais cada proposição tem um valor lógico dicotômico: ou verdadeiro ou falso.

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Axiomas são os fundamentos de toda uma teoria. A base daquilo que se deve aceitar como verdade para se provar sentenças mais complexas como verdadeiras. Um Axioma, por exemplo: (A+B = B+A). Esse é o Axioma da comutatividade na adição. Deve-se aceitar que isso ocorre para fazer aritmética.

Com a noção de axioma e com a demonstração da inconsistência do discurso feita anteriormente, podemos adentrar em uma um tanto mais relevante:

Seja um sistema lógico matemático com seu conjunto de regras bem definido. Kurt Gödel buscava o tipo de sentença que pudesse lhe informar sobre a consistência do sistema em questão. Seja ela a seguinte:

(Esta proposição não pode ser provada pelos axiomas)

Seria interessante que essa sentença não fosse verdade. Afinal de contas, todo teorema(sentença verdadeira) deve ser provado pelos axiomas.

Supõe-se, então que ela seja falsa. Dessa forma, sua negação é verdadeira e afirma que ela pode ser provada pelos axiomas. Mas dizer que ela é falsa e que pode ser provada pelos axiomas, equivale dizer que a partir dos axiomas pode ser provado algo falso. Ora, isso não é bem quisto, já que em meio de verdades, se existir pelo menos uma única falsidade, o sistema será inconsistente. Queremos um sistema verdadeiro e consistente. Então a suposição da sentença ser falsa estava errada, logo ela deve ser verdadeira.

Ora, certamente é um axioma, pois não pode ser provada verdadeira. Mas foi provada sua veracidade... Eis uma inconsistência. E ela se dá pelo fato de que a análise não foi feita no sistema no qual a sentença está inclusa. Foi feita analisando-a por fora. Foi uma análise da análise, isto é, uma meta-análise. Essa é uma evidência de que no sistema da sentença, é impossível prová-la verdadeira. Apenas saindo e "olhando por fora dele" que em isso é possível. Então, de fato, (Esta proposição não pode ser provada pelos axiomas) é um axioma. 

E Gödel provou que se pode levantar essa análise para indefinidamente muitas sentenças. De forma a existirem infinitamente muitas verdades que devemos aceitar como verdadeiras, pois não há como assim prová-las dentro de seus próprios sistemas. Ou seja, existem infinitamente muitas verdades que não podem ser demonstradas. Essa sua prova deduz dois dos teoremas mais incríveis na lógica matemática: os Teoremas da Incompletude de Gödel.

A fim, por uma bela interpretação filosófica fundamentada, matemática não pode ter seu conjunto de axiomas completo. Sempre haverá uma novo axioma a ser descoberto e portanto, sempre haverá o que descobrir.