Reflexões sobre Composição Infinita de Logarítmos

Seja a função exponencial '((a^ : R -> R+) : (a^x = y))' com 'a' Real positivo e diferente de '1'. Seja também a função logarítmica sua função inversa:

'((a^^-1 = log_a) : (log_a : R+ -> R) : (log_a y = x))'.

Deseja-se compor infinitamente a função logarítmica com ela mesma, isto é:

'(log_a (log_a (log_a ( ... (log_a (y)) ... ))))'.

Sendo 'a' maior que 'y' e 'y' maior que '1',

'(log_a x = x')' tal que '(0 < x < 1)' e

'(-1 < x' < 0)', pois '(a^x' = y')', '(a^(-1) < y')', logo,

'(0 < (y' = x) < 1)'.

Dessa forma, para '(log_a x')' em alguma etapa, obtém-se o logaritmando negativo, o que contraria a definição acima.

Porém com 'y' maior que 'a' maior que '1',

'(log_a x = x')' tal que '(x > 1)' e '(x' < -1)', pois

'(a^x' = y')' e '((y' = x) > 1)'.

Também obtem-se o logaritmando negativo para '(log_a x')', em alguma etapa, o que contraria a definição acima. Para '(a >> y)', existe uma possibilidade finita de composições no primeiro caso, bem como para '(y >> a)' no segundo.

Isso é Suficiente para se afirmar que a função logarítmica não pode ser composta como desejado, quando '(a > 1)' e '(y > 1)' (segundo as definições acima)? E se 'y' for infinitamente grande, então a composição infinita seria possível?

Em uma função, a expansão de suas propriedades de um dado conjunto para um outro de maior cardinalidade, é garantida à sua função inversa? Como feito em sala, a axiomatização foi realizada apenas para a função exponencial, e não para a logarítmica, de forma a nem ser uma preocupação o fato de não fazê-la.

Dada uma função sobre dois corpos fechados em suas operações e propriedades, a sua inversa também manterá essas características? E a bijeção da função seria algo Necessário a essa condição? (Como no caso da exponencial com a logarítmica)