Sistema Bidimensional de EDO Lineares de Primeira Ordem

Física

Ensino Médio

Como caso geral, consideramos as funções X_k(t) e f_k(t) ambas geralmente complexas e com variável t real sendo k um número natural (k=1,2,...,n). Seja o sistema:

$\frac{dx_{1}}{dt}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}+f_{1}(t)$

$\frac{dx_{2}}{dt}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}+f_{2}(t)$

$\vdots$

$\frac{dx_{n}}{dt}=a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}+f_{n}(t)$

Esse sistema de equações pode ser representado como:

$\mathbf{\dot{X}}=A\mathbf{X}+\mathbf{f}$

Onde:

$\mathbf{\dot{X}}=\left( \begin{array}{ccc} \dot{x}_{1}\\ \vdots\\ \dot{x}_{n} \end{array}\right),\quad A=\{a_{ij}\}_{n\times n},\quad \mathbf{f}=\left( \begin{array}{ccc} f_{1}\\ \vdots\\ f_{n} \end{array}\right)$

Se o vetor f = 0, o caso é homogêneo.

Para esse texto, só consideramos o caso bidimensional homogêneo. Vamos resolver os seguinte sistema:

$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{ccc}x_{1}\\ x_{2}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{ccc}x_{1}\\ x_{2}\end{array}\right)$ ...(1)

Consideramos o espaço vetorial V formado pelas matrizes colunas de dimensão dois sobre o espaço dos números complexos. Neste espaço as matrizes resultam ser operadores lineares. Temos dois casos para a resolução desses sistemas: Quando é possível fazer a diagonalização da matriz A e quando não é possível.

CASO 1: Matriz A diagonalizável.

Neste caso é possível formar uma base B não necessariamente ortonormal com os vetores próprios de A. Para a matriz A temos a equação de autovalores:

$A\mathbf{V}_{k}=\lambda_{k}\mathbf{V}_{k},\quad k=1,2.$

onde V_k são os vetores próprios de A e são linearmente independentes (L.I), e os respetivos autovalores são diferentes entre si. Assim, podemos expressar o vetor X em uma base B:

$B=\{\mathbf{V}_{1}, \mathbf{V}_{2}\}$

da seguinte maneira:

$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}x_{1}\\ x_{2}\end{array}\right)=x_{1}\left(\begin{array}{ccc}1\\ 0\end{array}\right)+x_{2}\left(\begin{array}{ccc} 0\\ 1\end{array}\right)=\sum\limits_{k=1}^{2}\alpha_{k}(t)\mathbf{V}_{k}$ ...(2)

onde

$\alpha_{k}=\textrm{comp}_{\mathbf{V}_{k}}\mathbf{X}$

O objetivo é encontrar uma função para a variável alfa. Para isso derivamos a equação (2) e substituimos (1):

$\frac{d\mathbf{X}}{dt}=\sum\limits_{k=1}^{2}\dot{\alpha}_{k}\mathbf{V}_{k}\quad\rightarrow\quad A\mathbf{X}=\sum\limits_{k=1}^{2}\dot{\alpha}_{k}\mathbf{V}_{k}$ ...(3)

trabalhamos na parte esquerda da Eq. (3) substituindo (2):

$A\mathbf{X}=A\sum\limits_{k=1}^{2}\alpha_{k}\mathbf{V}_{k}=\sum\limits_{k=1}^{2}\alpha_{k}(A\mathbf{V}_{k})=\sum\limits_{k=1}^{2}\alpha_{k}(\lambda_{k}\mathbf{V}_{k})$

Então, a Eq. (3) finalmente fica:

$\sum\limits_{k=1}^{2}\lambda_{k}\alpha_{k}\mathbf{V}_{k}=\sum\limits_{k=1}^{2}\dot{\alpha}_{k}\mathbf{V}_{k}\quad\rightarrow \quad\sum\limits_{k=1}^{2}(\dot{\alpha}_{k}-\lambda_{k}\alpha_{k})\mathbf{V}_{k}=0$

Como os vetores próprios V_k são L.I:

$\dot{\alpha}_{k}=\lambda_{k}\alpha_{k}\quad\rightarrow\quad \alpha_{k}=C_{k}e^{\lambda_{k}t}$

Onde C_k são constantes que podem ser encontradas utilizando as condições iniciais.

Assim, substituindo os valores para alfa em (2), encontramos a solução do sistema para o caso quando a matriz A é diagonalizável:

$\mathbf{X}=\sum\limits_{k=1}^{2}C_{k}e^{\lambda_{k}t}\mathbf{V}_{k}$ ...(4)

Exemplo: Problema do oscilador harmônico.

Resolver a equação:

$\ddot{x}+\omega^{2}x=0$ ...(5)

Solução:

Fazemos o seguinte:

$x_{1}=x, x_{2}=\dot{x}\quad\rightarrow\quad\dot{x}_{1}=x_{2}$

Substituindo em (5):

$\dot{x}_{2}+\omega^{2}x_{1}=0\quad\rightarrow\quad\dot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{1}$

Com essas mudanças de variaveis, a EDO da segunda ordem (5) se transforma em duas EDO de primeira ordem:

$\left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{1} \end{array} \right.\quad\rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}_{1}=0.x_{1}+1.x_{2}\\ \dot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{1}+0.x_{2} \end{array} \right.$

$\left( \begin{array}{ccc} \dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}0&1\\-\omega^{2}&0\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right) \quad\rightarrow\quad \mathbf{\dot{X}}=A\mathbf{X}$

Calculamos os valores e vetores próprios de A mediante:

$P(\lambda)=\textrm{det}(A-\lambda I)=0$

e obtemos:

$\lambda_{1}=\omega i,\quad V_{1}=\left( \begin{array}{ccc} 1\\ \omega i \end{array}\right)$

$\lambda_{2}=-\omega i,\quad V_{2}=\left( \begin{array}{ccc} 1\\ -\omega i \end{array}\right)$

Utilizando a solução (4):

$\mathbf{X}=C_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{V}_{1}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{V}_{2}$

$\left( \begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right) = C_{1}e^{\omega it}\left( \begin{array}{ccc} 1\\ \omega i \end{array}\right) + C_{2}e^{-\omega it}\left( \begin{array}{ccc} 1\\ -\omega i \end{array}\right)$

Nós só queremos a solução x₁:

$x_{1}=x=x(t)=C_{1}e^{i\omega t}+C_{2}e^{-i\omega t}$ ...(6)

Lembrando o Teorema de Euler:

$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$

Em (6):

$x(t)=C_{1}[\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]+C_{2}[\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)]$

$x(t)=(C_{1}+C_{2})\cos(\omega t)+i(C_{1}-C_{2})\sin(\omega t)$

Sejam C₁ + C₂ = B e i(C₁ - C₂)= D. Finalmente a solução para o problema do oscilador harmônico é:

$x(t)=B\cos(\omega t)+D\sin(\omega t)=A\sin(\omega t+\delta)$

onde A seria a amplitude e delta a fase.

CASO 2. Matriz A não diagonalizável.

Neste caso a matriz A só tem um valor próprio de multiplicidade 2 (lambda) mas só há um vetor próprio V:

$A\mathbf{V}=\lambda\mathbf{V}$ ...(7)

Para isso, utilizamos a seguinte base:

$B=\biggl\{\mathbf{E}_{1}=\mathbf{V}; \mathbf{E}_{2}=\left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \end{array}\right)\biggl\}$

Como no caso anterior devemos expressar o vetor coluna X da Eq. (1) como uma combinação linear dos vetores da base, neste caso E₁ e E₂

$\mathbf{X}=\left( \begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\beta_{1}\mathbf{E}_{1}+\beta_{2}\mathbf{E}_{2}=\sum\limits_{k=1}^{2}\beta_{k}\mathbf{E}_{k}$ ...(8)

e como no caso anterior, devemos encontrar uma função para as variáveis beta:

$A\mathbf{X}=\beta_{1}A\mathbf{E}_{1}+\beta_{2}A\mathbf{E}_{2}$

$A\mathbf{X}=\beta_{1}A\mathbf{V}+\beta_{2}A\mathbf{E}_{2}=\beta_{1}\lambda\mathbf{V}+\beta_{2}A\mathbf{E}_{2} =\beta_{1}\lambda\mathbf{E}_{1}+\beta_{2}A\mathbf{E}_{2}$ ...(9)

Vemos que só resta expresar a quantidade AE₂ como uma combinação linear de E₁ (V) e E₂

$A\mathbf{E}_{2}=\nu_{1}\mathbf{E}_{1}+\nu_{2}\mathbf{E}_{2}$ ...(10)

susbtituimos (10) em (9):

$A\mathbf{X}=(\lambda\beta_{1}+\nu_{1}\beta_{2})\mathbf{E}_{1}+\nu_{2}\beta_{2}\mathbf{E}_{2}$ ...(11)

Por outra parte, das Eqs. (1) e (8) temos:

$A\mathbf{X}=\mathbf{\dot{X}}=\dot{\beta}_{1}\mathbf{E}_{1}+\dot{\beta}_{2}\mathbf{E}_{2}$ ...(12)

Comparando as Eqs. (11) e (12) obtemos o seguinte sistema de equações para as variáveis beta:

$\left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{\beta}_{1}=\lambda\beta_{1}+\nu_{1}\beta_{2}\\ \dot{\beta}_{2}=\nu_{2}\beta_{2} \end{array} \right.$ ...(13)

Assim, do sistema de Eqs. (13) obtemos as variáveis beta e susbtituindo elas na Eq. (8) o problema fica resolvido.

Exemplo:

Resolver a equação diferencial:

$\ddot{x}+2\omega\dot{x}+\omega^{2}x=0$ ...(14)

Solução:

Fazemos o seguinte:

$x_{1}=x, x_{2}=\dot{x}\quad\rightarrow\quad\dot{x}_{1}=x_{2}$

Substituindo em (14):

$\dot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{1}-2\omega x_{2}$

Com essas mudanças de variaveis, a EDO da segunda ordem (14) se transforma em duas EDO de primeira ordem:

$\left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{1}-2\omega x_{2} \end{array} \right.\quad\rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{ll} \dot{x}_{1}=0.x_{1}+1.x_{2}\\ \dot{x}_{2}=-\omega^{2}x_{1}-2\omega x_{2} \end{array} \right.$

$\left( \begin{array}{ccc} \dot{x}_{1}\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}0&1\\-\omega^{2}&-2\omega\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right) \quad\rightarrow\quad \mathbf{\dot{X}}=A\mathbf{X}$

Calculamos os valores e vetores próprios de A mediante:

$P(\lambda)=\textrm{det}(A-\lambda I)=0$

e obtemos o valor próprio lambda de multiplicidade 2 e o seguinte vetor próprio:

$\lambda=-\omega,\quad V=\left( \begin{array}{ccc} 1\\ -\omega \end{array}\right)$

De acordo com o explicado na teoria, consideramos a seguinte base:

$B=\{\mathbf{E}_{1}, \mathbf{E}_{2}\}= \Biggl\{ \left( \begin{array}{ccc} 1\\ -\omega \end{array}\right) , \left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \end{array}\right) \Biggl\}$

e calculamos o produto de A e E₂:

$A\cdot\mathbf{E}_{2} =\left(\begin{array}{cc}0&1\\-\omega^{2}&-2\omega\end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \end{array}\right)= \left( \begin{array}{ccc} 0\\ -\omega^{2} \end{array}\right)$

e expressamos esse produto como uma combinação linear de E₁ e E₂

Agora, precisamos encontrar as variáveis beta expressadas em (13):

$\dot{\beta}_{1}=-\omega\beta_{1}+\omega\beta_{2}$ ...(15)

$\dot{\beta}_{2}=-\omega\beta_{2}$ ...(16)

de (16):

$\beta_{2}=C_{2}e^{-\omega t}$ ...(17)

Para calcular beta1 substituimos (17) em (15):

$\frac{d\beta_{1}}{dt}+\omega\beta_{1}=C_{2}\omega e^{-\omega t}$

Esse tipo de equações diferenciais são resolvidas utilizando o conceito de fator integrante, neste caso o fator integrante é exp(wt):

$e^{\omega t}\biggl(\frac{d\beta_{1}}{dt}+\omega\beta_{1}\biggl)=C_{2}\omega\quad\rightarrow\quad\frac{d}{dt}(\beta_{1}e^{\omega t})=C_{2}\omega$

$\beta_{1}e^{\omega t}=C_{2}\omega t+C_{1}\quad\rightarrow\quad\beta_{1}=(C_{2}\omega t+C_{1})e^{-\omega t}$ ...(18)

Como já temos as variáveis beta, substituimos (17) e (18) na solução (8):

$\mathbf{X}=\left( \begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\beta_{1}\mathbf{E}_{1}+\beta_{2}\mathbf{E}_{2}=\sum\limits_{k=1}^{2}\beta_{k}\mathbf{E}_{k}$

$\left( \begin{array}{ccc} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right) = (C_{2}\omega t+C_{1})e^{-\omega t}\left( \begin{array}{ccc} 1\\ -\omega \end{array}\right) + C_{2}e^{-\omega t}\left( \begin{array}{ccc} 1\\ 0 \end{array}\right)$