Equações Diferencias Ordinárias de Primeira Ordem

Física

Ensino Médio

Geral

Uma Equação Diferencial (ED) é uma equação que apresenta derivadas de uma função que depende de uma ou várias variáveis. Se a dependência fosse de só uma variável, a equação se chama de ordinária enquanto que se a dependência fosse de duas ou mais variáveis, a equação seria de derivadas parciais. A ordem de uma ED vem dado por a maior ordem das suas derivadas, assim, vamos estudar as ED cujas derivadas são de ordem 1. A forma geral das Equações Diferencias Ordinárias (EDO) de Primeira Ordem é:

$F(x,y,y') = 0, y = y(x), x\in [a,b]$

Podemos encontrar 5 casos, vou apresentar cada um explicando um método para resolver. Após apresentar a teoria, serão mostrados exemplos de cada caso.

Primeiro caso:

É a mais simples das equações diferenciais, a solução pode ser encontrada com uma simples integração.

$\frac{dy}{dx}=f(x)\quad\rightarrow\quad y=\int f(x)dx$

A função obtida é chamada de função primitiva da ED.

Exemplo:

Resolver:

$\frac{dy}{dx}=e^{bx}+\sin(ax)$

Solução:

separamos as variáveis e fazemos a integração:

$dy = (e^{bx}+\sin(ax))dx\quad\rightarrow\quad y=\int(e^{bx}+\sin(ax))dx$

$y = \int e^{bx}dx+\int\sin(ax)dx=\frac{e^{bx}}{b}-\frac{1}{a}\cos(ax)$

assim, a solução final é:

$y = \frac{e^{bx}}{b}-\frac{1}{a}\cos(ax)+C$

onde C é a constante de integração.

Segundo caso:

Equação diferencial onde pode se ter separação de variáveis:

$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\quad\rightarrow\quad g(y)dy=f(x)dx$

$\int g(y)dy = \int f(x)dx\quad\rightarrow\quad G(x,y,c) = 0$

Como y depende de x, aparece uma constante c, na solução geral. Essa constante pode ser calculada mediante as condições iniciáis: y(x₀)=y₀

Exemplo:

Resolver:

$x\sqrt{1+y^{2}}+y\frac{dy}{dx}\sqrt{1+x^{2}}=0, \quad y(0)=0.$

Solução:

é possível fazer a separação de variáveis:

$x\sqrt{1+y^{2}}dx=-\sqrt{1+x^{2}}ydy\quad\rightarrow\quad\int\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=-\int\frac{y}{\sqrt{1+y^{2}}}dy$

resolvendo cada integral:

$\sqrt{1+x^{2}}=-\sqrt{1+y^{2}}+C\quad\rightarrow\quad\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1+y^{2}}=C$

podemos calcular a constante de integração C apartir da condição inicial: x=0, y=0 e obtemos C=2. Assim, a solução seria:

$y = \pm\sqrt{(2-\sqrt{1+x^{2}})^{2}-1}$

Terceiro caso:

Equação diferencial da forma:

$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$

Fazemos o seguinte:

$z(x) = ax+by(x)+c\quad\rightarrow\quad\frac{dz}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}\quad\rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b}\biggl(\frac{dz}{dx}-a\biggl)$

Essa substituição faz com que a equação original fique mais simples.

Exemplo:

Resolver:

$\frac{dy}{dx}=a^{x+y},\quad a>0, a\neq0$

Solução:

fazemos:

$z=x+y\quad\rightarrow\quad\frac{dz}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\quad\rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx}-1$

substituindo na equação original:

$\frac{dz}{dx}-1=a^{z}=e^{z\ln a}\quad\rightarrow\quad\frac{dz}{dx}=1+e^{z\ln a}$

$\int\frac{dz}{1+e^{z\ln a}}=\int dx$

para resolver a integral da esquerda, fazemos a substituição:

$u=z\ln a\quad\rightarrow\quad dz = \frac{1}{\ln a}du$

$x+C = \frac{1}{\ln a}\int\frac{du}{1+e^{u}} = \frac{1}{\ln a}[u-\ln(1+e^{u})]$

onde C é a constante de integração. Lembrando as mudanças de variáveis feitas, devemos deixar tudo só em função de x e y:

$x+C =z-\frac{\ln(1+a^{z})}{\ln a}=x+y-\frac{\ln(1+a^{x+y})}{\ln a}$

resolvendo a equação anterior para y, obtemos finalmente:

$y=-\frac{\ln(B-Ba^{x})}{\ln a}$

sendo B uma constante real.

Quarto caso:

Equação diferencial da forma:

$\frac{dy}{dx}=f\biggl(\frac{y}{x}\biggl)$

Fazemos a seguinte mudança de variável:

$u(x)=\frac{y}{x}\quad\rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$

Ao igual que no caso anterior, a equação original fica consideravelmente mais simples.

Exemplo:

Resolver:

$4x^{2}-xy+y^{2}+y'(x^{2}-xy+4y^{2})=0$

Solução:

fazendo cáculos matemáticos, podemos expressar e ED anterior como:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-4+\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^{2}}{1-\frac{y}{x}+4(\frac{y}{x})^{2}}$

fazemos a mudança de variável:

$u=\frac{y}{x}\quad\rightarrow\quad y= ux\quad\rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u$

substituindo:

$x\frac{du}{dx}+u=\frac{-4+u-u^{2}}{1-u+4u^{2}}\quad\rightarrow\quad 4\int\frac{dx}{x}=\int\frac{(4u^{2}+u-1)}{u^{3}+1}du$

$4\ln x=\int\frac{(4u^{2}+u-1)}{u^{3}+1}du$

para resolver essa integral, aplicamos a teoria de frações parciais:

$\frac{4u^{2}+u-1}{u^{3}+1}=\frac{4u^{2}+u-1}{(u+1)(u^{2}-u+1)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B(2u-1)+C}{u^{2}-u+1}$

resolvemos o sistema e obtemos:

$A=2/3,\ B=5/3,\ C=0$

assim:

$4\ln x=\frac{1}{3}\int\biggl(\frac{2}{u+1}+\frac{5(2u-1)}{u^{2}-u+1}\biggl)du$

resolvendo as integrais:

$12\ln x = 2\ln(u+1)+5\ln(u^{2}-u+1)+C$

onde C é agora uma constante de integração. Voltamos tudo para as variáveis originais:

$12\ln x=2\ln\biggl(\frac{x+y}{x}\biggl)+5\ln\biggl(\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}}\biggl)+C$

nesse caso, não é possível obter um resultado final para y, porém, para cada valor de C, temos uma curva solução para x e y.

Quinto caso:

Uma das formas mais complexas:

$\frac{dy}{dx}=f\biggl(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}\biggl)$

Para resolver esse tipo de equações diferenciais, consideramos o seguinte sistema:

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0$

seja a solução desse sistema as coordenadas (x₀,y₀). Definimos as novas variáveis:

$x = \varepsilon+x_{0}$

$y=\eta+y_{0}$

Substituindo na equação original, podemos encontrar um caminho para a resolução.

Exemplo:

Resolver:

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y-1}{x-y+1}$

Solução:

como foi explicado antes, devemos resolver o seguinte sistema de equações:

$x+y-1=0$

$x-y+1=0$

encontramos que a solução é:

$x_{0}=0,\ y_{0}=1$

então, as novas variáveis são definidas como:

$\varepsilon=x-x_{0}=x\quad\rightarrow\quad x=\varepsilon\quad\rightarrow\quad dx=d\varepsilon$

$\eta=y-y_{0}=y-1\quad\rightarrow\quad y=\eta+1\quad\rightarrow\quad dy=d\eta$

substituindo na equação original:

$\frac{d\eta}{d\varepsilon}=\frac{\varepsilon+\eta}{\varepsilon-\eta}$

fazemos o seguinte:

$\frac{d\eta}{d\varepsilon}=\frac{\frac{\varepsilon+\eta}{\varepsilon}}{\frac{\varepsilon-\eta}{\varepsilon}}=\frac{1+\frac{\eta}{\varepsilon}}{1-\frac{\eta}{\varepsilon}}$

podemos notar que essa forma corresponde ao quarto caso, sendo assim devemos fazer o seguinte:

$u=\frac{\eta}{\varepsilon}\quad\rightarrow\quad\eta=u\varepsilon\quad\rightarrow\quad\frac{d\eta}{d\varepsilon}=u+\varepsilon\frac{du}{d\varepsilon}$

substituindo na equação diferencial com as novas variáveis:

$u+\varepsilon\frac{du}{d\varepsilon}=\frac{1+u}{1-u}\quad\rightarrow\quad\varepsilon\frac{du}{d\varepsilon}=\frac{1+u^{2}}{1-u}$

fazemos a separação de variáveis e integramos:

$\frac{(1-u)}{1+u^{2}}du=\frac{d\varepsilon}{\varepsilon}\quad\rightarrow\quad\int\frac{(1-u)}{1+u^{2}}du=\int\frac{d\varepsilon}{\varepsilon}$

a integral da esquerda, pode ser separada:

$\int\frac{du}{1+u^{2}}+\int\frac{udu}{1+u^{2}}=\ln\varepsilon+C$

$\arctan u+\frac{1}{2}\ln u=\ln\varepsilon+C$

sendo C a constante de integração. Para expressar a solução de uma forma mais compacta, podemos fazer:

$C=\ln a$

onde a seria uma constante qualquer. Assim, a solução seria:

$\arctan u=\ln(a\varepsilon\sqrt{u})$

agora, substituimos o valor da variável u:

$\arctan\biggl(\frac{\eta}{\varepsilon}\biggl)=\ln(\sqrt{\eta\varepsilon a^{2}})$

finalmente, voltamos para as variáveis originais:

$\arctan\biggl(\frac{y-1}{x}\biggl)=\ln(\sqrt{x(y-1) a^{2}})$

como no caso anterior, não é possível obter uma expressão para y, mas a igualdade anterior mostra que para cada valor da constante a, temos uma curva solução para os valores de x e y.

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Santiago C.

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