Análise matemática

Para analisar a sequência $a_n=\frac{1}{n^2}$ e a série correspondente, vamos seguir os passos solicitados.

### 1) Convergência da sequência $a_n$

Para provar que a sequência $a_n$ converge e determinar seu limite, utilizamos a definição de convergência de sequência. Uma sequência ( $a_n))convergeparaumlimite<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>L</mi></mrow></math>se,paratodo<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>\&\#x003F5;</mi><mi>\&</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>;</mi><mn>0</mn></mrow></math>,existeuminteiro<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>N</mi></mrow></math>talque,paratodo<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>n</mi><mi>\&</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>;</mi><mi>N</mi></mrow></math>,temos<br><br>[<br>|a_n-L|\&lt;ϵ.<br>]<br><br>Vamosconjecturarqueolimitedasequênciaé<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>L</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>0</mn></mrow></math>.<br><br>Assim,queremosmostrarque,paraqualquer<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>\&\#x003F5;</mi><mi>\&</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>;</mi><mn>0</mn></mrow></math>,podemosencontrar<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>N</mi></mrow></math>talque,paratodo<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>n</mi><mi>\&</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>;</mi><mi>N</mi></mrow></math>,<br><br>[<br>|\frac{1}{n^2}-0|\&lt;ϵ<br>]<br><br>ouseja,<br><br>[<br>\frac{1}{n^2}\&lt;ϵ.<br>]<br><br>Rearranjando,temos<br><br>[<br>n^2\&gt;\frac{1}{ϵ}.<br>]<br><br>Portanto,precisamosescolher<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>N</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mi>\&\#x02308;</mi><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>\&\#x003F5;</mi></mrow></mfrac></mrow></msqrt><mi>\&\#x02309;</mi></mrow></math>.Assim,se<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>n</mi><mi>\&</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>;</mi><mi>N</mi></mrow></math>,segueque:<br><br>[<br>n^2\&gt;\frac{1}{ϵ}⟹\frac{1}{n^2}\&lt;ϵ.<br>]<br><br>Portanto,mostramosque<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msub><mo>lim</mo><mrow><mi>n</mi><mo>\&\#x02192;</mo><mo>\&\#x0221E;</mo></mrow></msub><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>0</mn></mrow></math>,ouseja,asequência<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub></mrow></math>convergepara<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>.<br><br>\#\#\#2)Convergênciadasérie<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msubsup><mo>\&\#x02211;</mo><mrow><mi>n</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>\&\#x0221E;</mo></mrow></msubsup><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub></mrow></math><br><br>Agora,consideramosasérie<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msubsup><mo>\&\#x02211;</mo><mrow><mi>n</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>\&\#x0221E;</mo></mrow></msubsup><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>\&\#x0003D;</mo><msubsup><mo>\&\#x02211;</mo><mrow><mi>n</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>\&\#x0221E;</mo></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math>.<br><br>Paradeterminarseasérieconvergeoudiverge,podemosutilizaro<strong>CritériodaComparação</strong>eo<strong>CritériodeP-Series</strong>.<br><br>Sabemosqueasérie<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msubsup><mo>\&\#x02211;</mo><mrow><mi>n</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>\&\#x0221E;</mo></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mi>n</mi><mi>p</mi></msup></mrow></mfrac></mrow></math>convergese<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>p</mi><mi>\&</mi><mi>g</mi><mi>t</mi><mi>;</mi><mn>1</mn></mrow></math>.Nonossocaso,<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mi>p</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>2</mn></mrow></math>,queémaiordoque1.<br><br>Dessaforma,podemosconcluirqueasérie<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msubsup><mo>\&\#x02211;</mo><mrow><mi>n</mi><mo>\&\#x0003D;</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>\&\#x0221E;</mo></mrow></msubsup><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math>converge.<br><br>\#\#\#ResumodasRespostas:<br>1)Asequência<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>\&\#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></math>convergepara<mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"display="inline"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>.<br>2$ A série ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge.