Análise matemática

Para analisar a sequência ( a_n = \frac{1}{n^2} ) e a série correspondente, vamos seguir os passos solicitados.

### 1) Convergência da sequência ( a_n )

Para provar que a sequência ( a_n ) converge e determinar seu limite, utilizamos a definição de convergência de sequência. Uma sequência ( (a_n) ) converge para um limite ( L ) se, para todo ( \epsilon > 0 ), existe um inteiro ( N ) tal que, para todo ( n > N ), temos

[
|a_n - L| < \epsilon.
]

Vamos conjecturar que o limite da sequência é ( L = 0 ).

Assim, queremos mostrar que, para qualquer ( \epsilon > 0 ), podemos encontrar ( N ) tal que, para todo ( n > N ),

[
\left| \frac{1}{n^2} - 0 \right| < \epsilon
]

ou seja,

[
\frac{1}{n^2} < \epsilon.
]

Rearranjando, temos

[
n^2 > \frac{1}{\epsilon}.
]

Portanto, precisamos escolher ( N = \lceil \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} \rceil ). Assim, se ( n > N ), segue que:

[
n^2 > \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{n^2} < \epsilon.
]

Portanto, mostramos que ( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ), ou seja, a sequência ( a_n ) converge para ( 0 ).

### 2) Convergência da série ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n )

Agora, consideramos a série ( \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ).

Para determinar se a série converge ou diverge, podemos utilizar o Critério da Comparação e o Critério de P-Series.

Sabemos que a série ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} ) converge se ( p > 1 ). No nosso caso, ( p = 2 ), que é maior do que 1.

Dessa forma, podemos concluir que a série ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ) converge.

### Resumo das Respostas:
1) A sequência ( a_n = \frac{1}{n^2} ) converge para ( 0 ).
2) A série ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ) converge.