Achar volume máximo

Determine as dimensões da caixa retangular de volume máximo que pode ser inscrita numa esfera de raio a. Confirme que este resultado é máximo pelo teste da derivada segunda.
Thiago S.
Thiago
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Professor David C.
Respondeu há 3 semanas
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Considere a caixa de dimensões x, y, z, com x>0, y>0, z>0, devido a que a caixa está inscrita numa esfera de raio a (a>0), então temos a seguinte igualdade: x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 Dado que o volume da caixa é: xyz, então considere a função: F(x,y,z,t) = xyz - t(x^2 + y^2 + z^2 - 4a^2) Achamos os pontos críticos de F: Fx = yz - 2 tx = 0 Fy = xz - 2 ty = 0 Fz = xy - 2 tz = 0 Ft = 4a^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0 Resolvendo as igualdades anteriores temos que a única opção é: x = y = z = 2a/(raiz de 3), t = a/(raiz de 3) Afirmação: o valor de x = 2a/(raiz de 3) é o ponto máximo da função volume da caixa De fato, a função volume é V(x) = x^3 e considere o ponto crítico x = 2a/(raiz de 3) Derivando duas vezes a função volume: V' = 3x^2 V'' = 6x Note que V'' (2a/(raiz de 3) )= 12a/(raiz de 3) > 0 Portanto, o valor x = 2a/(raiz de 3) atinge o máximo da função volume.

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