Calcule o ângulo formado pelos gradientes da função f(x,y) = ln (y/x) nos pontos A = (2,2)e B = (2,1)
Calcule o ângulo formado pelos gradientes da função f(x,y) = ln (y/x) nos pontos A = (2,2) e B = (2,1)
Solução.
Note que f(x,y) =ln(y) -ln(x), logo
Grad f(x,y) = (-1/x, 1/y)
com vetor unitario
v(x,y) =Grad f(x,y) / |Grad f(x,y)|
v(x,y) =(-1/x, 1/y) / ( raiz(x^2+y^2)/(xy) )
v(x,y) = (-y/raiz(x^2+y^2) , x/raiz(x^2+y^2) )
Nos pontos A e B:
v(A) = (-2/raiz(8), 2/raiz(8) ) = (-raiz(2)/2, raiz(2)/2 )
v(B) = (-1/raiz(5), 2/raiz(5) ) = (-raiz(5)/5, 2 raiz(5)/5 )
Logo:
cos(theta) = v(A) * v(B)
cos(theta) = (-raiz(2)/2, raiz(2)/2 )(-raiz(5)/5, 2 raiz(5)/5 )
cos(theta) = raiz(10)/10 + 2 raiz(10)/10 = 3 raiz(10)/10
cos(theta) = 3/raiz(10)
Portanto
theta = arccos( 3/raiz(10) ) = (143/2) °
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