Boa tarde Laudy.
Primeiramente, vamos lembrar a regra da série de Taylor, a função é a raiz cúbica:
f(x) = x^(1/3) (Vou colocar raiz cúbica dessa forma, para dar para escrever por aqui)
de acordo com o polinômio de Taylor, f(x) em torno de um ponto a, pode ser escrito como:
f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)²*1/(2!) + f"'(a)*(x-a)³*1/(3!) +...
Como quer o polinômio apenas para o grau 2, temos:
f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)²*1/(2!)
Precisamos então saber f'(x) e f''(x) para a primeira parte:
f'(x) = (1/3)*x^(1/3 -1) = (1/3)*x^(-2/3)
f"(x) = (1/3)*(-2/3)*x^(-2/3 - 1) = (-2/9)*x^(-5/3)
Agora que escrevemos sabemos as funções, o verdadeiro desafio da questão é escolher o valor de a.
Perceba que tanto f(x) quanto f'(x) e f''(x) envolvem raizes cubicas, pois:
x^(-2/3) = (x^(1/3))^(-2) e x^(-5/3)=(x^(1/3))^(-5)
Logo é inteligente escolher um valor de a que seja próximo de 28 e cuja raiz cúbica seja um valor inteiro. Um número que satisfaz essas condições é a=27. Assim temos:
f(a) = 27^(1/3) = 3
f'(a) = (1/3)*3^(-2)=(1/3)*(1/9)=1/27 = 3^(-3)
f"(a) = (-2/9)*3^(-5) = (-2/9)*(1/243) = -2*3^(-7)
Para x = 28
f(28) = f(27) + f'(27)*(28-27) +f''(27)*(28-27)²*(1/2)
f(28) = 3 + 1/27 -1/2187
f(28) = 3 + 0,037 - 0,000457
f(28) = 3,0365
Para estimar o erro, basta calcular quanto seria o valor do termo do próximo grau do polinômio, ou seja:
erro =(1/6)* f'"(27)*(1)^3
f'"(27) = (10/27)*3^(-8) = 0,0000564
erro = f'"(27)/6 = 0,00000941
Perceba que o erro é bem pequeno!
Caso haja alguma dúvida, fique a vontade para me mandar mensagens. Talvez a formatação deixe meio confuso.
Abraços e bons estudos!
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