calcular a integral (\int \frac{dx}{\sqrt{25 - x^2}}) usando

Para calcular a integral $\int \frac{dx}{\sqrt{25-x^2}}$ usando a técnica de substituição trigonométrica, podemos usar a substituição $x=5\sin \theta$. Isso é apropriado porque $\sqrt{25-x^2}$ lembra a identidade trigonométrica ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$.

Aqui estão as etapas:

1. Substituição:

, então $dx=5\cos \theta d\theta$

.

1. Forma da integral:

Substituindo na integral, temos:

1. Simplificar a raiz:

(\sqrt{25 - 25\sin^2\theta} = \sqrt{25(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{25\cos^2\theta} = 5\cos\theta)

A integral torna-se:

1. Integrar:

A integral de $d\theta$ é $\theta +C$, onde $C$ é a constante de integração.

1. Voltar à variável original:

Como $x=5\sin \theta$, $\sin \theta =\frac{x}{5}$. Portanto, (\theta = \arcsin\left(\frac{x}{5}\right)).

1. Solução final:

A solução da integral é:

E essa é a solução usando a técnica de substituição trigonométrica.