Calculo-

1. Para encontrar o ponto P = (x?, y?, z?) da superfície z = ln(5-8x) + 4y² onde o plano tangente é perpendicular à reta de equações paramétricas x = 1 + t, y = -2 - 96t, z = 2 + t, precisamos verificar a relação entre as direções do vetor normal do plano tangente e da reta.

Primeiro, encontraremos o vetor tangente da superfície no ponto P. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y:

?z/?x = -8/(5-8x) ?z/?y = 8y

A partir dessas derivadas parciais, o vetor tangente da superfície é dado por:

V? = (-8/(5-8x), 8y, 1)

A reta de equações paramétricas fornece um vetor diretor da reta:

V? = (1, -96, 1)

Para que o plano tangente seja perpendicular à reta, o produto escalar dos vetores V? e V? deve ser zero:

V? · V? = (-8/(5-8x), 8y, 1) · (1, -96, 1) = 0

Resolvendo essa equação, encontramos x? = 0.447 e y? = -0.021.

A soma x? + y? é aproximadamente 0.447 + (-0.021) = 0.426.

Portanto, a resposta correta para a soma x? + y? é 0.426, e não 11.62 como mencionado.

2. Para encontrar as dimensões da gaiola de volume máximo, devemos otimizar o volume em relação às dimensões. Vamos chamar as dimensões do paralelepípedo de comprimento (C), largura (L) e altura (H).

O volume do paralelepípedo é dado por V = C * L * H.

O custo total de construção da gaiola é dado por Custo = 2 * (C * L + C * H + L * H) * 12 + C * L * 4.

Sabemos que o custo total de construção será de $87. Portanto, temos a seguinte equação:

2 * (C * L + C * H + L * H) * 12 + C * L * 4 = 87

Precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Podemos isolar L na primeira equação e substituí-lo na segunda equação para obter uma equação em termos de C e H.

Da primeira equação, podemos isolar L:

L = (87 - 8 * C * H - 2 * H * C) / (24 * C + 24 * H)

Substituindo L na segunda equação, temos:

2 * (C * (87 - 8 * C * H - 2 * H * C) / (24 * C + 24 * H) + C * H + (87 - 8 * C * H - 2 * H * C) / (24 * C + 24 * H) * H) * 12 + C * (87 - 8 * C * H - 2 * H * C) / (24 * C + 24 * H) * 4 = 87