Cálculo ii - máximo e mínimos,

Este problema se trata de maximizar uma funcao de duas variaveis.

x , y sao quantidades dos produtos x e y.

f(x) = 100 -2x é o valor de venda do produto x

f(y)= 125-3y é o vamor de venda do produto y

f(x,y)= 12x+11y+4xy é o custo de producao de x e y unidades dos produtos x e y.

seja F(x,y) = Lucro

Lucro = valor vendido *quantidade - custo producao

F(x,y)= x(100-2x) +y(125-3y) - (12x+11y+4xy)

desenvolvendo, multiplicando os fatores chegamos a :

F(x,y)= -2x² -3y² +88x+114y -4xy

Portanto temos que maximizar esta funcao.

Mas em que regiao de x e y vamos maximizar?

Observe que se x for 50 o valor de venda f(x) atinge 0 , entao basta pesquisarmos x de 0 ate 50, pois acima disto o valor de venda é negativo e nao interessa.

Para y , se for 42, o valor de venda f(y) atinge -1, e quanto maior y menor o valor de venda.  Entao basta pesquisar y entre 0 ate 42.

Entao a regiao que vamos pesquisar e maximizar a funcao acima é

Regiao = x entre 0 a 50 e y entre 0 a 42, estas sao as bordas da regiao que formam um retangulo.

Temos que pesquisar o valor da funcao na regiao interna e nas bordas, para descobrir o maximo global da funcao.

Para pesquisar maximos internos na regiao vamos calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:

Derivada de F de ordem 1 em relação a x:

F_x= -4x+88-4y, facilmente obtida derivando a funcao F (considerando y um valor constante e x uma variavel)

Segunda derivada parcial em relacao a x

F_xx= -4, obtida derivando F_x em relacao a x

Agora derivando F em relação a y, considerando x constante temos.

F_y = -6y+114-4x 

derivando novamente F_y em relaco a y obtemos a derivada de ordem 2

F_yy= -6

Agora derivando F em relacao a x e depois y, obtemos as derivas de segunda ordem cruzadas:

F_xy = -4, obtido derivanfo F_x em relacao a y.

Observe que F_yx = F_xy

Para pesquisar se existem maximos internos, temos que calcular o Determinante das derivadas parciais:

D = F_xx.F_yy- (F_xy)²

D= -4.(-6) - (-4)²

D= 24-16 = 8

Como neste caso D >0 e F_xx <0, concluimos que existe um maximo local em algum ponto. Se F_xx>0 seria ponto de minimo, e se D<0 nao teria max nem minimo.

Vamos calcular qual é este ponto, pois nos pontos criticos, as derivadas primeiras se anulam.

F_x =F_y =0

teremos entao

-4x+88-4y =0

-4x+114 -6y=0

sao equaçoes simutaneas , 

multiplicando a primeira por -1 e somando a segunda temos

-88+114+4y-6y =0

26 -2y =0

2y=26

y=13

Substituindo y em uma das equaçoes acima achamos x

-4x+114-6.13=0

x=9

entao temos um maximo da funcao F(x,y) lucro, em y=13 e x=9

calculando a funcao F(x=9,y=13) obtemos

F(9,13)= 1137, este é o valor do lucro maximo produzindo 9 unidades de x e 13 unidades de y.

Pode-se testar facilmente que nas bordas x=0  ou x =50, ou y=0, ou y =42 existem maximos de F,mas que sao menores que o maximo interno (1137).

Logo o maximo local interno é um maximo global da funcao F na regiao.

Veja o grafico da funcao F(x,y) abaixo no link

https://uploaddeimagens.com.br/imagens/YkSBLTc

Da para vizualizar aproximadamente o maximo em x=9 e y=13