Calculo iv

 

Calcule Integral Tripla ??? xdxdydz onde B é paralelepípedo 0<x<1, 0<y<x e  1<z<x + y

Emilia L.
Emilia
perguntou há 1 mês

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Professor Célio L.
Respondeu há 1 mês

\int_0 ^1 \int_0 ^x \int_1 ^{x+y}xdxdydz

 

Os limites de integração são definidos através das retas que delimitam o paralelepípedo 0 < x < 1, 0 < y < x e 1 < x < x+y

Resolvendo a integral que depende de z, temos 

 \int_0 ^1 \int_0 ^x \left(\int_1 ^{x+y}xdz\right)dxdy = \int_0 ^1 \int_0 ^x x[(x+y)- 1]dydz

Aqui integramos em relação a z mantendo x como uma constante. Agora, para resolvermos a parte dependente de y, vamos manipular 

o integrando para facilitar a integração: x[(x+y) -1] = x²+xy-x. Assim, mantendo os temos de x constantes, temos

\int_0 ^1 \left(\int_0 ^x (x^2 + xy -x)dy \right)dx=\int_0 ^1 \left(x^2 x + \frac{1}{2}x^2 x -xx\right)dx.

E por último, resta a integral em relação a x 

  

\int_0 ^1 \left(x^3+ \frac{1}{2}x^3  -x^2\right)dx = \int_0 ^1 \left(\frac{3}{2}x^3  -x^2\right)dx.

 

O resultado da integração substituíndo os limites fica 1/24 u.v. 

 

Bons estudos. Abraço ! 

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Professor Arquimedes M.
Respondeu há 1 mês

Boa tarde!

Do jeito que foram os dados os intervalos invertemos a ordem de integração por integral de xdzdydx;

Integral de xdz (é x é constante em x relação a z e a y) onde z varia de 1 a (x+y) ou seja xz ficará x(x+y -1) = x2 + xy - x;

Agora temos integral de x2 + xy -x dydx, resolvendo (x é constante em relação a y) fica x2y +xy2/2 -xy onde y varia de 0 a x então fica x3+x3/2 -x2 ;

 

Agora temos a integral de x3 +x3/2 - x2 dx onde x varia de 0 a 1: resolvendo fica x4/4 +x4/8 -x3/3 variando de 0 a 1, substituindo os valores fica 1/4 +1/8 -1/3= (6+3-8)/24= 1/24

 

Obs.: Confere as contas e lembrando que a na ordem de integração sempre o último tem variação numérica, no caso é o x por isso colocamos dx por último, como z varia em função de x e y colocamos dx primeiro e como y varia só em função de x colocamos dy antes de dx.

 

Obrigado pela atenção!

DEUS ABENÇOE!

 

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