Considere a função f(x, y, z) = ln (y^2 e^xz) e o ponto P = (0, 1, 1).
(a) Determine a menor taxa de variação possıvel de f no ponto P.
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente.
resposta :A)
B)
Para determinar a menor taxa de variação possível de f no ponto P = (0, 1, 1), vamos calcular o gradiente de f no ponto P e encontrar sua norma.
O gradiente de f é dado por:
f = (
f/
x,
f/
y,
f/
z)
Calculando as derivadas parciais de f em relação a x, y e z:
f/
x = y^2 * z
f/
y = 2y * e^(xz)
f/
z = y^2 * x * e^(xz)
No ponto P = (0, 1, 1), temos:
f(P) = (1^2 * 1, 2 * 1 * e^(01), 1^2 * 0 * e^(01)) = (1, 2, 0)
A menor taxa de variação possível de f no ponto P é dada pela norma do vetor gradiente:
||f(P)|| = ||(1, 2, 0)|| = sqrt(1^2 + 2^2 + 0^2) = sqrt(5)
2.236
Portanto, a menor taxa de variação possível de f no ponto P é aproximadamente 2.236.
Para obter um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente, podemos normalizar o vetor gradiente ?f(P).
Vamos chamar esse vetor unitário de u:
u = (f(P)) / ||
f(P)|| = (1, 2, 0) / sqrt(5)
Para simplificar, vamos multiplicar cada componente de u por sqrt(5):
u = (sqrt(5)/5, 2 * sqrt(5)/5, 0)
Portanto, um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente no ponto P é aproximadamente (sqrt(5)/5, 2 * sqrt(5)/5, 0).