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Ligia há 1 ano
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Calculo2

Considere a função f(x, y, z) = ln (y^2 e^xz)  e o ponto P = (0, 1, 1).
(a) Determine a menor taxa de variação possıvel de f no ponto P.
(b) Obtenha um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente. 

 

resposta :A)

B)

1 resposta
Professor Vinícius W.
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Para determinar a menor taxa de variação possível de f no ponto P = (0, 1, 1), vamos calcular o gradiente de f no ponto P e encontrar sua norma.

O gradiente de f é dado por:

f = (f/x, f/y, f/z)

Calculando as derivadas parciais de f em relação a x, y e z:

f/x = y^2 * z f/y = 2y * e^(xz) f/z = y^2 * x * e^(xz)

No ponto P = (0, 1, 1), temos:

f(P) = (1^2 * 1, 2 * 1 * e^(01), 1^2 * 0 * e^(01)) = (1, 2, 0)

A menor taxa de variação possível de f no ponto P é dada pela norma do vetor gradiente:

||f(P)|| = ||(1, 2, 0)|| = sqrt(1^2 + 2^2 + 0^2) = sqrt(5) 2.236

Portanto, a menor taxa de variação possível de f no ponto P é aproximadamente 2.236.

Para obter um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente, podemos normalizar o vetor gradiente ?f(P).

Vamos chamar esse vetor unitário de u:

u = (f(P)) / ||f(P)|| = (1, 2, 0) / sqrt(5)

Para simplificar, vamos multiplicar cada componente de u por sqrt(5):

u = (sqrt(5)/5, 2 * sqrt(5)/5, 0)

Portanto, um vetor unitário na direção e sentido do qual f cresce mais rapidamente no ponto P é aproximadamente (sqrt(5)/5, 2 * sqrt(5)/5, 0).

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