Como resolver usando a regra da cadeia?

Oi, Daniel. Primeiro é necessário lembrar das propriedades de logaritmos. Uma delas é que, quando você tem log(a/b), isso é o mesmo que loga - logb . Isso vale para logaritmos de quaisquer bases: se o logaritmando é uma fração, você pode reescrever como uma subtração de dois logs com a mesma base que o original.

Neste caso específico: f(x) = ln((1+3x²)/(1-x^3)) = ln(1+3x²) - ln (1-x³).

Agora, para achar a derivada da função (na verdade temos uma função dentro de outra: uma função polinomial dentro de uma função logarítmica, por isso que se usa a regra da cadeia), você aplica a regra da cadeia para cada um destes. Faz assim: primeiro deriva a função logarítmica como se o logaritmando fosse simplesmente x. Pela tabela, a derivada de lnx é 1/x . Ok, mas você sabe que o logaritmando é, na verdade (1+3x²) na primeira parcela e (1-x³) na segunda parcela. Então em vez de 1/x, teremos 1/(1+3x²) e 1/(1-x³) Vamos guardar estes resultados , porque não acabou.

Agora vamos derivar o que tem dentro dessa logaritmos. A derivada de 1+3x² é bem facinha também. Será 6x, pois a derivada de 1, que é uma constante, é zero, e a de 3x² é dada por 2.3x¹ (regra do tombo). Analogamente , a derivada de (1-x³) será -3x². Guardemos estes resultados.

Blz, agora , pela regra da cadeia a derivada de uma função composta, ou seja, de uma função representada por funções "dentro" de outras será o produto das derivadas quando consideramos estas funções isoladamente. Então a derivada de ln(1+3x²) será:

1/(1+3x²) * 6x

E a derivada de ln (1-x³) será:

1/(1-x³) * (-3x²)

Logo, a derivada de f(x) é:

f'(x) = 1/(1+3x²) * 6x - 1/(1-x³) * (-3x²)

f'(x) = 6x/(1+3x²) + 3x²)/(1-x³)

Espero ter ajudado. Abraço!