Suponha que numa esfera condutora isolada, a carga distribui-se uniformemente em sua superfície. Se o raio da esfera é ???? e a carga total é ????, então a densidade superficial de carga é constante e igual à carga total dividida pela área da superfície da esfera, ou seja, ????=????4????????2 Para determinar o campo elétrico num ponto ???? qualquer, que está a uma distância ???? do centro da esfera, é conveniente definir o eixo dos ???? com origem ???? no centro da esfera e passando pelo ponto ????, como apresentado na figura seguinte: Fonte: https://def.fe.up.pt/eletricidade/calculo_campo.html É possível dividir a superfície da esfera em várias partes, com dimensões reduzidas. A partir do campo produzido por cada parte, no ponto ????, o campo total pode ser obtido pela sobreposição de todos esses campos. A figura anterior apresenta também uma pequena região infinitesimal de superfície na vizinhança de um ponto ???? com coordenadas esféricas (????,????,????). As coordenadas ???? e ???? são avaliadas da seguinte forma: ? O ângulo ???? é medido a partir do eixo ????, num plano que passa por esse eixo e pelo ponto ????. O aumento infinitesimal ???????? desse ângulo descreve um arco de círculo de comprimento ???? ????????. ? O ângulo ???? é medido num plano perpendicular ao eixo dos ????. A distância de ???? até o eixo ???? é igual à ???? ????????????????. O aumento infinitesimal de ???? conduz a um arco de círculo de comprimento ???? ???????????????? ????????. Logo, a área da região infinitesimal na vizinhança do ponto ???? é dada por: ????????=????2 ???????????????? ???????? ????????. Obtém-se a carga infinitesimal nessa região através da multiplicação desta área pela carga superficial: ????????=????4???? ???????????????? ???????? ????????. Essa carga infinitesimal pode ser considerada uma carga pontual e, assim sendo, o módulo do campo que ela produz no ponto ???? é dado pela expressão do campo para uma carga pontual: ????????=????|????|4????????????2 ???????????????? ???????? ???????? onde ???? é a distância desde a região infinitesimal na superfície da esfera até o ponto ????. O vetor ????????? forma um ângulo ???? com o eixo ????. Por cada pedaço infinitesimal de superfície esférica na vizinhança do ponto (????,????,????), o pedaço de superfície na vizinhança de (????,????+????,????) produz um campo com o mesmo módulo na equação acima e com o mesmo ângulo ???? em relação ao eixo ????, mas oposto de forma que as componentes dos dois campos perpendiculares ao eixo ???? anulam-se e só fica a componente paralela ao eixo ????. Conclui-se, então, que o campo total deverá ser na direção do eixo ???? e, para calculá-lo, basta integrar a componente ???????????????? ???????? do campo produzido pela região infinitesimal ????=??????????????????2????0 ????????????0=????|????|4?????????????????????????? ????????????????????2???????? ???????? Expressando os dois ângulos ???? e ???? em função da distância ????, pela lei dos cossenos aplicado ao triângulo da figura a seguir obtemos ????2=????2+????2?2 ???? ???? ???????????????? ? ????????????????=????2+????2?????22???????? ????2=????2+????2?2 ???? ???? ???????????????? ? ????????????????=????2+????2?????22???????? Lembre-se que ???? e ???? são constantes para todos os segmentos da superfície esférica. A expressão para ???????????????? ???????? obtém-se derivando a equação do ???????????????? (????????????????)?=(????2+????2?????22????????)? ? ???????????????? ????????=???????????? ???????? Logo ????=????|????|4??????????(????2+????2?????22????????)(1 ????2)(????????????) ???????? ???????????????????????????????????????? 2????0 ????=????|????|8????????????????2??(????2+????2?????2????2) ???????? ???????????????????????????????????????? 2????0 ????=????|????|8????????????????2??(1+????2?????2????2)???????? ???????????????????????????????????????? 2????0 onde ???????????????? e ???????????????? são os valores mínimo e máximo da distância ???? em ????=0 e ????=????. Considerando a última expressão apresentada, como podemos determinar o campo elétrico quando ???? pertence ao interior da esfera? E no caso de ???? estar na parte exterior à esfera?