Considere o sólido Q limitado pelo parabolóide z=x2 y2 e pelo plano z=4. Calcule: ∫∫∫Q(x2 y2)dV
Olá Leandro,
Vamos à resolução!
Nos problemas de integração envolvendo sólidos, sempre que possível esboce a figura para facilitar a identificação dos limites de integração.
No seu caso, o sólido é limitado inferiormente pela superfície do parabolóide z = x^2+y^2 e está limitado superiormente pela superfície do plano z = 4, Figura Paraboloide-Plano.
Nas coodenadas cilíndricas, o diferencial de volume dV = dxdydz, será escrito como
dV = rdrdtdz
onde r corresponde ao comprimento radial (do centro até a superfíe do parabolóide) e t caracteriza o ângulo que, devido a volta completa do parabolóide em torno do eixo-z, irá variar de tmin = 0 até tmax = 2pi.
Adotando esta ordem de integração, onde r vem primeiro, depois t e depois z, o última integral dz deve envolver somente números. Portanto, considerando a altura do sólido na figura já citada, vemos que zmin = 0 e zmax = 4.
Falta apenas definir os limites de integração do r.
Nas coordenadas cilíndricas, r² = x²+y² . Por outro lado, z = x²+y² também, de modo que, podemos considerar r=raiz(z). Logo, no ponto mais baixo, quando z=0, teremos rmin=0. Quando z=4, teremos r = raiz(4)=2. Portanto,
o limite superior de r depende da altura z através da função r = raiz(z).
Finalmente, podemos montar a integral:
R = \int_{0}^{4}\int_{0}^{2pi}\int_{0}^{raiz(z)} rdrdtdz
= \int_{0}^{4}\int_{0}^{2pi} [z/2] dtdz
= \int_{0}^{4} [z*pi] dz
= [4² pi/2] = 8pi
É isso,
Até
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