Dadas às seguinte equações encontre a derivadas de forma implicita pedidas

Para encontrar a derivada implícita \( \frac{dy}{dx} \) da equação dada:

\[
-X^3 Y^2 + 4XY = -4X + 2Y
\]

Vamos usar a diferenciação implícita. Diferenciamos ambos os lados da equação com respeito a \( x \), lembrando de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.

### Passo a passo:

1. Diferenciamos o lado esquerdo da equação:
   
\[
\frac{d}{dx}(-X^3 Y^2) + \frac{d}{dx}(4XY)
\]

2. Diferenciamos o lado direito da equação:

\[
\frac{d}{dx}(-4X) + \frac{d}{dx}(2Y)
\]

Vamos lidar com cada termo separadamente.

#### Primeiro termo: \(-X^3 Y^2\)

Aplicando a regra do produto:

\[
\frac{d}{dx}(-X^3 Y^2) = - \left( \frac{d}{dx}(X^3) \cdot Y^2 + X^3 \cdot \frac{d}{dx}(Y^2) \right)
\]

Onde:

\[
\frac{d}{dx}(X^3) = 3X^2
\]

\[
\frac{d}{dx}(Y^2) = 2Y \cdot \frac{dy}{dx}
\]

Portanto:

\[
\frac{d}{dx}(-X^3 Y^2) = - (3X^2 Y^2 + X^3 \cdot 2Y \cdot \frac{dy}{dx})
\]

Simplificando:

\[
\frac{d}{dx}(-X^3 Y^2) = -3X^2 Y^2 - 2X^3 Y \cdot \frac{dy}{dx}
\]

#### Segundo termo: \(4XY\)

Aplicando a regra do produto:

\[
\frac{d}{dx}(4XY) = \frac{d}{dx}(4X) \cdot Y + 4X \cdot \frac{d}{dx}(Y)
\]

Onde:

\[
\frac{d}{dx}(4X) = 4
\]

\[
\frac{d}{dx}(Y) = \frac{dy}{dx}
\]

Portanto:

\[
\frac{d}{dx}(4XY) = 4Y + 4X \cdot \frac{dy}{dx}
\]

#### Diferenciando o lado direito

\[
\frac{d}{dx}(-4X) = -4
\]

\[
\frac{d}{dx}(2Y) = 2 \cdot \frac{dy}{dx}
\]

### Montando a equação derivada

Agora juntamos tudo:

\[
-3X^2 Y^2 - 2X^3 Y \cdot \frac{dy}{dx} + 4Y + 4X \cdot \frac{dy}{dx} = -4 + 2 \cdot \frac{dy}{dx}
\]

Vamos agrupar todos os termos com \( \frac{dy}{dx} \) de um lado:

\[
-2X^3 Y \cdot \frac{dy}{dx} + 4X \cdot \frac{dy}{dx} - 2 \cdot \frac{dy}{dx} = -4 + 3X^2 Y^2 - 4Y
\]

Fatoramos \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\left( -2X^3 Y + 4X - 2 \right) \cdot \frac{dy}{dx} = -4 + 3X^2 Y^2 - 4Y
\]

Finalmente, isolamos \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-4 + 3X^2 Y^2 - 4Y}{-2X^3 Y + 4X - 2}
\]

Esta é a derivada implícita \( \frac{dy}{dx} \) da equação dada.