A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 10 cm/min determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 20 cm. Volume do cone: (Pi)r²h / 3
Olá Diego,
Vamos à resolução do seu problema!
A vazão de escoamento se refere à taxa de variação do volume do cone em relação ao tempo, ou seja, dV/dt.
Se o volume do cone é V = (pi r^2 h)/3, e h = r conforme informado no enunciado, então
dV/dt = d/dt [(pi * h^3)/3]
= pi * h^2 * dh/dt
Mas dh/dt = 10. Logo,
dV/dt = 10pi*h^2
Por fim, quando a altura for 20, a vazão da areia será
dV/dt = 10pi*400 = 4000 pi [cm^3/min]
É isso,
Até
O primeiro vc deve estabelecer a relação entre o raio da base e a altura: r = h (em cm)
Depois usando a fórmula do cone:
V = (pi) r^2 h / 3 = (pi) h^3 /3
Dado que a razão do aumento da altura é de 10 cm/min, isto é a altura é uma função do tempo e:
dh / dt = 10 cm/min
Dai, o volume também é uma função dependente do tempo e podemos derivar (usando as propriedades da derivada) respeito ao tempo:
dV / dt = (dV / dh ) * (dh / dt)
dV / dt = (3 (pi) h^2 /3 )* (dh / dt)
dV / dt = (pi) h^2 * (10 cm/min )
dV / dt = 10 (pi) h^2 cm/min
Sendo h = 20 cm, então
dV / dt = 10 (pi) (20)^2 cm^3/min
dV / dt = 4000 (pi) cm^3 / min
Portanto, a taixa à qual a areia está se escoando é 4000 (pi) cm^3 / min
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