Determine os pontos críticos de f e depois classifique-os:
f(x, y) = x³/3 + 2 xy - 3x² + y² + 1
Olá Pedro,
Para determinar o ponto crítico de uma função de duas variáveis deve-se, da mesma maneira que fazemos para encontrar o ponto crítico de funções de uma variável, derivar a função em relação a variável e igualar a zero.
Pela segunda expressão, chega-se em
Usando desse resultado na primeira expressão,
Portanto, o ponto crítico é (8, -8). Para classificar esse ponto, pode-se usar o teste da segunda derivada. Para o caso de duas variáveis, ele é
Sendo (a, b) a coordenada do ponto crítico encontrado, tem-se que
1. g(a, b) > 0 e fxx(a, b) > 0, então (a, b) é um mínimo local.
2. g(a, b) > 0 e fxx(a, b) < 0, então (a, b) é um máximo local.
3. g(a, b) < 0, então (a, b) é um ponto de sela.
4. g(a, b) = 0, então o teste é inconclusivo e (a, b) pode ser tanto um máximo local, quanto mínimo ou ponto de sela.
Para o caso da função desse problema, tem-se que
Portanto, g(8) > 0 e fxx(8) = 10 > 0, o ponto (8, -8) é um mínimo local.
Espero que seja útil. :)
Bons estudos!
Aulas particulares
