se for:
f(x) = ln ( 1+3x^2) + 1-x^3 = 0
ln ( 1+3x^2) = x^3 - 1
Esta é uma equação não linear transcendental, a resolução numérica é mais apropriada.
=== Inicialmente vejamos com ver graficamente
faça o gráfico de 1+3x^2
faça o gráfico de ln(y)
Agora olhe para os valores de 1+3x^2 e os entenda como o "y" de ln(y) e faça o gráfico de ln ( 1+3x^2)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln+%28+1%2B3x%5E2%29
faça o gráfico de x^3 - 1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3++-+1
Os pontos de intersecção são as soluções
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln+%28+1%2B3x%5E2%29+%3D+x%5E3++-+1
Só existe um solução.
=== Numericamente
Método de Newton-Raphson
x_(k+1) = x_k - f(x_k) / f'(x_k),
onde f' é a derivada de f em relação a x
inicio com um chute x_0 e vá calculando iterativamente x_1, x_2 ...
quando chegar em |x_n - x_(n-1)| < epsilon_desejado, então terá encontrado um das raízes.
A ideia é chutar x_0 próximo da raiz procurada que por ser inicialmente estimada com o gráfico.
x_n = 1,438202 de acordo com Wolfram alpha.
