Duvida na resolução

Bruno, não ficou claro o que você deve resolver nesta questão. Deve calcular o limite? Deve esboçar o gráfico? deve derivar ou integrar? Abraços André

Completando o Prof. André. Se for para encontrar a raiz, i.e, qual o x tal que f(x) = ln ( 1+3x^2) / (1-x^3 ) = 0, O procedimento que descrevi sobre o método de Newton-Raphson e solução numérica funciona se a raiz não for ponto de extremo, i.e., com derivada zero. f(x) = ln ( 1+3x^2) ______________ = 0, (1-x^3 ) o numerador deve ser zero e o denominador diferente de zero ln ( 1+3x^2) = 0 => 1+3x^2 = 1 => x = 0 no denominador para x=0 temos; 1-x^3 = 1 diferente de 0, está ok veja o gráfico e perceba a raiz em x=0. Note que os limites em ambos infinitos também vão para zero, mas não são raízes da equação http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28+ln+%28+1%2B3x%5E2%29+%2F+%281-x%5E3%29%29

Bom dia, Bruno. O enunciado não está muito claro, mas pelo que entendi, você quer saber como derivar a função F(x) = ln(1+3x²) / (1-x³) Bom, para tanto, vamos utilizar duas regras: Uma delas é a regra do quociente: 1) (f/g)' = (f'g-fg')/g² A outra é a regra da cadeia: 2) [f(g(x)]' = f'[g(x)]*g'(x) Se você não estiver familiarizado com a aplicação dessas regras e quiser aprender por conta própria, recomendo buscar no youtube, há vários vídeos de excelentes professores explicando esses conceitos. Caso ainda assim permaneçam dúvidas, acho que a melhor saída é contratar um professor particular, para identificar exatamente quais são as suas dificuldades e te ensinar de uma forma mais eficiente. Dito isso, note que utilizando a regra (1), a nossa f será a função ln(1+3x²) e a g será (1-x³). Agora, para escrevermos o lado direito da regra (1), vamos calcular cada um dos termos separadamente (com a prática você se tornará capaz de fazer isso mais rápido, sem quebrar em tantas etapas) O primeiro termo a ser calculado é o f'. Aí que entra a regra (2). Note que a função f pode ser vista como a composição da função ln(x) com a função (1+3x²), ou em outras palavras, é como se substituíssemos o x da função ln(x) por (1+3x²). Aplicando a regra, temos que fazer a composição da derivada de ln(x) com a função (1+3x²) e multiplicar pela derivada de (1+3x²). Sabemos que a derivada de ln(x) é 1/x, então fazendo a composição com (1+3x²) temos 1/(1+3x²). A derivada de (1+3x²) é 6x (usando derivada de constante e regra do tombo). Portanto temos que a derivada de ln(1+3x²) é [1/(1+3x²)] * 6x => f'(x)=6x/(1+3x²). Temos que calcular também a função g'. Essa é mais fácil e pode ser obtida também pela derivada de constante e regra do tombo. g'(x)= -3x². Portanto: f'g = [6x/(1+3x²)]*(1-x³) fg' = ln(1+3x²)*(-3x²) g² = (1-x³)² Finalmente: F'(x) = (f'g-fg')/g² = {[6x/(1+3x²)]*(1-x³) + ln(1+3x²)*3x²} / (1-x³)² = 3x * [2(1-x³)/(1+3x²) + x*ln(1+3x²)] / (1-x³)² Acho que a resposta ficou bastante longa, mas é por que tentei explicar bem todas as passagens. Espero que tenha sido claro. Atenciosamente, Bruno Lucatto