Duvida sobre derivada

Use a regra da cadeia e a regra do produto.

Oi Amanda, tudo bem?

Vamos lá. Primeiramente, você deve perceber que a sua função é uma soma, certo? E como a derivada da soma é a soma das derivadas, você deve analisar cada termo separadamente. Depois, você deve perceber que a derivada do termo  é simplesmente . Já para o termo , você precisa usar a regra do produto. Isto é, você primeiro deriva o e fixa o e depois soma com o termo em que o está fixo e o é derivado. Isso é simplesmente:

restando apenas reunir a contribuição do primeiro termo

Portanto, a derivada da sua função é:

Espero ter ajudado :).

Você vai precisar usar regra da cadeia e regra do produto:

Regra da cadeia: "Derivada do que está dentro vezes a derivada do que está fora".

(f(g(x)))'=g'(x).f'(g(x)     só pra visualizar melhor     (f(g))'=g'.f'(g)

Regra do produto: "Derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do segundo vezes o primeiro".

(f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+g'(x).f(x)     só pra visualizar melhor     (f.g)'=f'.g+g'.f

Na função f(t) = 2.e^-t + t.e^-t temos, no primeiro termo, a necessidade de usar a regra da cadeia e, no segundo termo, a regra do produto e a da cadeia.

Fazendo isoladamente (e^-t)' = -1.e^-t = -e^-t , (y=-t é a função de dentro, e sua derivada é y'=-1 ; z=e^y é a função de fora, e sua derivada é z'=e^y =e^-t ).

Derivada primeira: f'(t) = 2.(-e^-t) + 1.e^-t +(-e^-t).t = -2.e^-t + e^-t -e^-t.t = -e^-t.(t + 1)

Derivada segunda: f"(t) = -(-e^-t).(t + 1)+ 1.(-e^-t) = e^-t.(t + 1) - e^-t = e^-t.(t+1-1) = e^-t.t = t.e^-t

Vamos primeiro à derivada da exponencial.

Derivada da função composta:

no caso, e^-t é uma função composta, e portanto:

A derivada do produto de duas funções é dada por: (uv)'=u'.v+vu'

NO nosso problema temos uma função que é a soma de duas funções, o produto de uma constante com uma função composta mais o produto de uma variável com uma função composta. 

Derivada de primeira ordem é:

Calculando a derivada de segunda ordem temos:

Esta é a resposta