encontrar o termo geral da sequência dada: 0, 3, 5, 8, 11,…

Question

Profes A. · Accepted Answer

Para encontrar o termo geral de uma sequência, é útil primeiro identificar o padrão de formação entre os termos. Vamos analisar a sequência dada: $0, 3, 5, 8, 11, \dots$ .

Calculamos as diferenças entre termos consecutivos para tentar identificar um padrão:
$3 - 0 = 3$
$5 - 3 = 2$
$8 - 5 = 3$
$11 - 8 = 3$

Notamos que, após o primeiro termo, as diferenças são $3$ e $2$ , alternadas. Para entender o padrão, podemos observar melhor: o primeiro é uma diferença de 3, então 2, depois de novo 3, e assim por diante.

Vamos expressar o padrão de diferenças alternadas como uma combinação linear de dois segmentos:
Para $n = 1$ (o segundo termo), acrescentamos $3$ ao termo anterior.
Para $n = 2$ (o terceiro termo), acrescentamos $2$ ao termo anterior.

Um modo de achar uma fórmula é combinar uma progressão aritmética com ajuste:

a_{1} = 0, a_{2} = a_{1} + 3, a_{3} = a_{2} + 2, a_{4} = a_{3} + 3, \dots

Podemos tentar deduzir uma expressão para o n-ésimo termo: a cada dois termos, temos um incremento de 5, então um possível termo geral pode ser construído como:

a_{n} = a_{1} + ⌊ \frac{3 (n - 1)}{2} ⌋ + 2 \times ⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋

Dado este padrão, podemos representar a expressão como (considerando incremento de 3 e 2):

a_{n} = {\begin{matrix} 0 + 3 \times \frac{n}{2}, & se n é ímpar \\ 3 \times \frac{n - 1}{2} + 2, & se n é par \end{matrix}

Isso pode ser simplificado como:

a_{n} = \frac{5 (n - 1)}{2} - ⌊ n / 2 ⌋

Outra versão diretamente:

a_{n} = \frac{3 n}{2} - \frac{3}{2} (n \mod 2)

Portanto, analisando-se de mais de uma forma, é possível chegar a um termo generalizado da sequência original: 0, 3, 5, 8, 11, ... que convenientemente ajusta os incrementos.

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