Equação diferencial (apostila )

Em uma cultura de bactérias, há inicialmente No bactérias. Duas horas depois o número passa a ser (2/3)No. Considerando que a taxa de crescimento seja proporcional ao número inicialmente presente, determine o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado.

Observação.

Se depois de duas horas o número passa a ser (2/3)N0 < N0, então

Solução.

Considere N(t) a quantidade de bactérias no instante "t". Logo

• Inicialmente: N(0) = N0
• Duas horas depois: N(2) = (2/3)N0

Dado que a taxa de crescimento é proporcional ao número presente de bactérias:

d N(t)/ dt = k N(t)

cuja solução é: N(t) = C *exp(k*t), onde C e k são constantes.

Substituindo os valores em t=0 e t=2 temos:

• Em t = 0: N0 = N(0) = C*exp(0) = C  -> C = N0

N(t) = N0 *exp(k*t)

• Em t = 2: (2/3)N0 = N(2) = N0 *exp(2*k) -> 2/3 = exp(2*k)

N(t) = N0 *exp( (2k)*(t/2) ) = N0 *(2/3)^(t/2)

Portanto, o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado é:

3N0 = N(t) = N0 *(2/3)^(t/2)

3 = (2/3)^(t/2)

9 = (2/3)^t

t = (ln (9) ) / [ln(2) - ln(3)]

t = -5, 42 h = -5 h 25 min

Como vimos na observação, a taxa de crescimento é negativa, ou seja a população de bactérias está decrescendo, devido a isso o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado está no tempo negativo (pasado), com t = -5h 25 min antes do tempo inicial.

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