Para encontrar a equação diferencial da família para todos os círculos de centro sobre o eixo x, podemos utilizar a forma geral da equação de um círculo com centro (a, 0) e raio r:
(x - a)^2 + y^2 = r^2
Vamos considerar que o centro do círculo seja representado por (a(t), 0), onde "a(t)" é uma função de "t" que determina a posição do centro do círculo ao longo do eixo x.
Substituindo "a(t)" na equação do círculo, temos:
(x - a(t))^2 + y^2 = r^2
Expandindo e simplificando a equação, temos:
x^2 - 2xa(t) + [a(t)]^2 + y^2 = r^2
Derivando em relação a "t" com a regra da cadeia, obtemos:
2x(dx/dt) - 2a(t)(da/dt) + 2a(t)(da/dt) + 2yy' = 0
Simplificando, temos:
2x(dx/dt) + 2yy' = 0
Dividindo toda a equação por 2, obtemos:
x(dx/dt) + yy' = 0
Multiplicando toda a equação por "y'", obtemos:
xy' dx/dt + y(y')^2 = 0
Somando 1 em ambos os lados da equação, temos:
xy' dx/dt + y(y')^2 + 1 = 1
Portanto, a equação diferencial da família para todos os círculos de centro sobre o eixo x é:
yy'' + (y')^2 + 1 = 0
Essa é a resposta correta fornecida pelo livro: yy'' + (y')^2 + 1 = 0.
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